Bahan Ajar Logika Matematika Tentang Kuantor


Logika Predikat

Predikat adalah proposisi dengan laur.

Contoh:


P(x, y)



x
+ 2 =
y


Coretan:

Simbol


menyatakan ekivalen


P(x, y)



[x
+ 2 =
y]

Diberikan:


x


= 1,
y
= 3.

Maka


P(1, 3)



bersusila


x


= 1,
y
= 4.

Maka


P(1, 4)



riuk



~

P(1, 4)


sopan


Kuantor

Suatu kalimat terbuka p(x) dapat diubah menjadi suatu pernyataan, yaitu dengan mengganti luwes dari suatu kalimat dengan suatu nilai tertentu (konstanta). Cara bukan bikin mengubah suatu kalimat terbuka menjadi suatu pernyataan ialah dengan memperalat kuantor.

Cak bagi makin jelasnya perhatikan paradigma berikut ini.

(i)
x
+ 3 = 5, dalam hal ini HP = {2}

(ii)
x
2
– 3x
+ 2 = 0, dalam hal ini HP = {1, 2}

Pada kalimat terbuka


x


+ 3 = 5, apabila
x
diganti dengan konstanta, yaitu:


     x


diganti dengan 10 menjadi 10 + 3 = 5 (didapat pernyataan S)


     x


diganti dengan 2 menjadi 2 + 3 = 5 (didapat pernyataan B)



Proses penggantian dengan konstanta ini disebut dengan
proses instantiasi.

Bagaimana halnya seandainya di depan kalimat mangap


x


+ 3 = 5, kita cantumkan kata-pengenalan yang menyatakan besaran (kuantor) sama dengan


ada


atau


semua


sebagai berikut:


Bagi semua nilai
x
berlaku
x
+ 3 = 5 (didapat pernyataan S)





Terserah biji
x
yang memenuhi
x
+ 3 = 5 (didapat pernyataan B)

Proses ini disebut
proses kuantifikasi.

Pernyataan pertama yang mengandung prolog
semua
disebut pernyataan berkuantor universal (umum) dan prolog semua disebut
kuantor universal. Pernyataan kedua yang mengandung prolog
suka-suka
disebut pernyataan berkuantor eksistensial (khusus) dan pembukaan ada disebut
kuantor eksistensial.


a) Kuantor global (





)

    Misalkan
p(x) adalah kalimat termengung yang didefinisikan plong kumpulan segenap S, maka pernytaaan:

    “Bikin setiap
x
di dalam S, maka
p(x) benar. “

Disebut
pernyataan kuantor universal
dan prolog
untuk setiap
dalam pernytaan di atas disebut
kuantor universal.

    Prolog-kata nan sering muncul/dipakai kerumahtanggaan pernyataan kuantor menyeluruh adalah semua dan untuk setiap. Simbol matematis bagi kedua kata tersebut adalah “

“.

    Dalam aljabar, pernyataan kuantor mondial ini boleh digunakan bagi mengubah kalimat terbuka menjadi kalimat tertutup (pernyataan). Misalkan
p(x) yakni sebuah kalimat terbuka, maka untuk menyatakan himpunan penuntasan bersumber
p(x) pada kumpulan semesta S bisa ditulis ibarat berikut:





x

,
p(x) dibaca “semua
x
bersifat
p(x)”.






x



S
,
p(x) dibaca “semua
x
anggota S berkepribadian
p(x)”.

Ponten kebenaran dari pernyataan berkuantor



x

,
p(x) bergantung plong himpunan semesta nan ditinjau dan kalimat terbuka
p(x).

Arketipe:

1) Apabila
p(x):
x
+ 4 > 3 dengan himpunan semesta

Z

(himpunan ketentuan nirmala), maka pernyataan:




x



Z
;
x
+ 4 > 3 adalah satu pernyataan yang bernilai sopan, karena HP = {1, 2, 3, 4, …} =

Z

2) Apabila
q(x):
x
+ 1 > 8 dengan himpunan semesta

Z

(pusparagam bilangan zakiah), maka pernyataan:




x




Z
;
x
+ 1 > 8 adalah suatu pernyataan yang bernilai pelecok, karena untuk x = 1, 1 + 1 < 8. HP = {8, 9, 10, …}


Z

Berpunca teladan di atas, dapat disimpulkan bahwa:

Apabila {

x


|
x



Z
,


p

(x)} =

Z


maka




x



Z
,


p

(x) merupakan benar.

Apabila {

x


|
x



Z
,


p

(x)}


Z


maka




x



Z
,


p

(x) adalah keseleo.


b) Kuantor eksistensial (





)

    Misalkan
p(x) yakni suatu kalimat ternganga yang didefinisikan lega pusparagam seberinda S, maka pernyataan: “cak semau
x
di dalam S sedemikian sehingga
p(x) benar” disebut
pernyataan eksistensial
(khusus) dan kata
ada
dalam pernyataan di atas disebut
kuantor eksistensial.

    Alas kata-kata yang cak acap muncul/dipakai n domestik pernyataan eksistensial adalah ada, beberapa, dan minimal sedikit satu. Huruf angka matematis untuk ketiga kata tersebut sama yaitu “

“.






x



Z
,
p(x) dibaca “cak semau kredit
x
anggota

Z

sedemikian sehingga


p(x) menjadi pernyataan benar” atau secara singkat bisa dikatakan “terdapat x yang bersifat
p(x)”. Rancangan




x



Z
,
p(x) dapat lagi ditulis ibarat



x

,
p(x) mengelepai lega himpunan semesta nan ditinjau dan kalimat terbuka
p(x).

Contoh:

1) Apabila




n




Z
, n + 4 < 7, dengan

Z

= pusparagam predestinasi kudus adalah pernyataan sopan, karena: {n
|
t +
4 < 7} = {1, 2}

2) Apabila




kaki langit



Z
, n + 6 < 4, dengan

Z

= pusparagam bilangan murni adalah pernyataan salah, karena: {ufuk
|
cakrawala +
4 < 7} = {  }

Dari contoh di atas, dapat disimpulkan bahwa:

Apabila {

x


|
p(x)}


{  }


maka



x

,
p(x) yaitu ter-hormat.

Apabila {

x


|
p(x)}

=

{  }


maka



x

,
p(x) yakni salah.


Ingkaran pernyataan berkuantor

~(


x

,
p(x)) ≡



x

, ~p(x)

~(


x

,
p(x)) ≡



x

, ~p(x)

Latihan Tanya:

a. Diketahui pernyataan
p
= “Semua orang akan meninggal dunia”. Tentukan ingkaran berusul
p!

b. Tentukan negasi dari



x

, cos2
x
+ sin2
x
= 1!

c. Pernyataan
q
= “Cak semau planet yang mempunyai semangat”, tentukan negasinya!

d. Tentukan ingkaran dari pernyataan berikut




x



R
,
x
2
+ 1 < 0!

Source: https://ajarmatematika-rdiana.blogspot.com/2011/10/logika-predikat-dan-kuantor.html