Bahan Ajar Matematika Peminatan Kelas Xi Lingkaran.ppt

Matematika
Peminatan
Pertepatan
Galengan

Papan bawah XI Mipa
Semester genap

IZZA . M

MODUL

MATEMATIKA PEMINATAN KURIKULUM 2022
Kelas bawah XI IPA

SEMESTER GENAP (II)

DISUSUN OLEH
IZA MISWATI

UPT SMA Wilayah 4 BANGKALAN
Perkembangan Pertahanan NO 4
BANGKALAN
UNTUK KALANGAN SENDIRI

KATA PENGANTAR
Puji syukur yang bukan terukur penulis panjatkan kehadirat Allah SWT, atas
apa hidayah dan pemberian-Nya, penyalin dapat menyelesaikan modul matematika Kerjakan
SMA/MA Kelas XI Semester 2 Kurikulum 2022 ini dengan baik.
Modul matematika ini disusun dengan tujuan bagi kondusif peserta dalam
memahami materi-materi ilmu hitung dengan pamrih nantinya dapat meningkatkan
hasil belajar pesuluh. Materi yang disajikan dalam modul ini pula menggunakan bahasa
nan tertinggal dan mudah dimengerti sehingga pemakai modul ini dapat dengan
mudah dalam membacanya.
Pada kesempatan ini katib mengucapkan syukur terutama kepada
yang terhormat :
1. Pengarah UPT SMA Negeri 4 Bangkalan Dra. Anisa Warda, MM.
2. Semua pihak nan mutakadim kondusif kelancaran penulisan modul ini
Modul Matematika ini jauh berpangkal kata sempurna dan masih banyak kekurangan
yang kami rasakan, bagi itu kami lewat mengharapkan adanya suara minor dan saran yang
sifatnya membangun demi kesempurnaan modul ini.

Bangkalan, Desember 2022
Penulis

ii

DAFTAR ISI
Jerambah Judul …………………………………………………………………………………..Kejadian i
Sekapur sirih ……………………………………………………………………… …………Peristiwa ii
Daftar Isi……………………………………………………………………………………………Hal iii
Kurikulum 2022( Gerbang dan KD) ……………………………………………………………………..Hal iv-v
MODUL II : Lingkaran

A. Definisi Landasan…………………………………………………………………………….Hal 1
B. Persamaan Lingkaran …………………………………………………………….…………Keadaan 2
C. Bentuk Umum Persamaan Lingkaran…………………………………………………..Hal 4
D. Evaluasi 1…………………………………………………………………………………………Situasi 5
E. Posisi Titik Terhadap Galengan………………………………………………… ……….Hal 6
F. Jarak Titik Pada Lingkaran………………………………………………………………….Keadaan 7
G. Kedudukan Garis Terhadap Lingkaran………………………………………………….Hal 8
H. Persamaan Garis Singgung Lingkaran………………………………………………….Situasi 9
I. Geta Dua Lingkaran………………………………………………………………….Hal 11
J. Persamaan Garis ( Tali Busur ) Semenjak Dua Lingkaran Yang Berpotongan……Hal 13
K. Evaluasi 2…………………………………………………………………………………………Hal 15

iii

Matematika Peminatan

Ketengan Pendidikan : SMA Negeri 4 Bangkalan
Kelas / Semester : XI (Sebelas)/ 2 (genap)

A. Kompetensi Inti : :

Bab-1 dan Bopeng-2:Menghayati dan mengamalkan ajaran agama nan dianutnya. Menyelami
dan melakukan perilaku jujur, disiplin, santun, peduli (gotong royong, kerjasama, toleran,
damai), bertanggung jawab, responsif, dan pro-aktif dalam berinteraksi secara efektif sesuai
dengan perkembangan anak asuh di lingkungan, tanggungan, sekolah, masyarakat dan lingkungan alam
sekeliling, bangsa, negara, kawasan regional, dan kawasan internasional”.

KI-3: Memahami, menerapkan, dan menganalisis warta faktual, paradigma, prosedural,
dan metakognitif bersendikan rasa ingin tahunya tentang ilmu kenyataan, teknologi, seni,
budaya, dan humaniora dengan wawasan kemanusiaan, kebangsaan, kenegaraan, dan tamadun
terkait penyebab fenomena dan peristiwa, serta menerapkan kabar prosedural pada bidang
amatan yang spesifik sesuai dengan bakat dan minatnya bakal mengamankan komplikasi

KI-4: Menempa, menalar, dan menyaji dalam ranah konkret dan lengang niskala terkait dengan
pengembangan dari nan dipelajarinya di sekolah secara mandiri, dolan secara efektif dan
fertil, serta rani menggunakan metode sesuai kaidah keilmua

B. KOMPETENSI Dasar DAN Indeks

KOMPETENSI DASAR Penunjuk

3.3. Menganalisis lingkaran secara analitik  Memahami konsep lingkaran

 Menyusun pertepatan lingkaran
berpusat di (0,0) dan (a,b).

 Menentukan pusat dan jari-ujung tangan halangan
yang persamaannya diketahui.

 Menentukan persamaan halangan yang
memenuhi standar tertentu.

 Menentukan posisi dan jarak satu bintik
terhadap halangan

4.3. Tanggulang penyakit yang tercalit  Melukis garis nan menyinggung lingkaran
Dengan halangan dan menentukan sifat-sifatnya

 Merumuskan persamaan garis singgung
yang melangkahi satu noktah pada kalangan.

 Menentukan persamaan garis singgung
yang melewati bintik di asing lingkaran.

 Memformulasikan kemiripan garis singgung
yang gradiennya diketahui

iv

C. Materi Pendedahan
 Materi Pokok : Persamaan Lingkaran
 Sub – Sub materi : – Definisi Halangan
– Persamaan Limbung
– Gambar umum Persamaaan galengan
– Posisi bintik sreg lingkaran
– Jarak noktah lega Dok
– Takhta garis terhadap Lingkaran
– Persamaan garis Sentuh Galengan
– Geta dua dok

D. Pamrih Penelaahan
Setelah mempelajari modul ini pelajar diharapakn dapat:
 Menganalisis kaitan antara lingkaran dan garis singgung
 Mengamankan masalah yang berkaitan dengan lingkaran

E. Penilaian
 Hasil tes evaluasi
 Psikomotor
 Afektif

PETA KONSEP

Limbung

Persamaan Garis Kedudukan
Lingkaran singgung Dua
Limbung Gudi

Kemiripan Keduduka Persamaan Persamaan
halangan titik, garis garis singgung garis singgung
dengan terhadap yang melallui dengan
pusat(0,0) gudi titik gradient
dan (a,b) tertentu

v

MODUL 2

LINGKARAN

PENDAHULUAN
Bertambah berusul seribu periode yang lalu, para pakar matematika Nasion Yunani biasa
memandang garis sentuh sebuah landasan sebagai sebuah garis yang
menjejak kalangan semata-mata di satu titik. Descartes bahkan n kepunyaan
argument bahwa pasti terserah dua titik potong detik sebuah garis memotong
lingkaran. Sekiranya hanya ada satu titik potong, maka garis itu pastilah garis
sentuh dok. Mereka hanya menenmpatkan limbung sebagai
bangun yang stagnan.

Antagonistis dengan ide-ide tersebut, Issac Newton, orang Inggris nan menemukan
Hukum Universal Gravitasi, mempunyai pendapat yang farik akan halnya garis senggol. Ia
memandang garis singgung puas sebuah noktah andai limit posisi dari sebuah garis yang melalui
noktah itu dan titik lain nan bergerak semakin damping ke bintik tadi. Dengan demikian, dok
menurut Newton merupakan lintasan relung tertutup sederhana yang membolehkan propaganda
dan oleh karena itu lingkaran disebut siuman nan dinamis.

A. DEFINISI Landasan

Y Guri yakni tempat singgasana titik-
titik yang berparak sama ( jari-deriji linkaran )
A (x1 , y1) B(x2 , y2) terhadap sebuah noktah tertentu ( pusat

r pematang ) yang digambarkan pada bidang
kartesius.
r P (a ,b) = Kiat Dok
P(a,b) r = deriji-jari halangan

r

r = AP = BP = CP

C (x3 , y3)

OX
Dalam menentukan pertepatan lingkaran, kita harus mengerti mengenai formula jarak. Berikut ini
diberikan beberapa formula untuk menentukan jarak.
1. Jarak antara dua titik A(x1 , y1) dan B(x2 , y2), ditentukan oleh j = (x2  x1 )2  ( y2  y1 )2

2. Jarak tutul A(x1 , y1) terhadap garis lurus ax + by + c = 0 dirumuskan j  ax1  by1  c
a2  b2

Rumus rumus pematang yang sering digunakan

a. Luas Lingkaran : L = = b. Gelintar Limbung : K = =

Hal 1

B. PERSAMAAN Dok
1. Persamaan Lingkaran yang Berpusat di O ( 0,0 ) dan Berjari-ujung tangan r

Y A ( x, y ) Berdasarkan definisi limbung, maka akan
r diperoleh persamaan lingkaran yang berjari–
jari r dan berpusat di titik pangkal Udara murni(0,0).
y Bintik A(x,y) pada Gudi. Ganggang
lingkaran r = OA .
Ox X Dengan menghafaz kembali rumus jarak
antara dua noktah, maka akan diperoleh rumus
persamaan lingkaran:

OA = (x  0)2  ( y  0)2

r = x2  y2
Jadi diperoleh bentuk umum persamaan
lingkaran dengan kunci O(0,0) dan berjari-
jari r adalah :

x2  y2  r2

Paradigma 1
Tentukan paralelisme lingkaran yang :

a. berpusat di O(0, 0) dan r = 3
b. berpusat di O(0, 0) dan melalui titik A(3, 4)
c. berfokus di O(0, 0) dan meyinggung garis 12x – 5y – 39 = 0
Jawab :
a. Resep di Ozon(0, 0) dan r = 3

x2 + y2 = r2  x2 + y2 = 32

x2 + y2 = 9 ataupun x2 + y2 – 9 = 0
b. Gerendel di O(0, 0) dan melalui bintik A(3, 4)

Karena melalui noktah A(3, 4) maka nilai r2 ditentukan dari x2 + y2 = r2 diperoleh nilai

r2 = 32 + 42  r2 = 25. Makara persamaan lingkarannya adalah x2 + y2 = 25.

c. Pokok di Udara murni(0, 0) dan meyinggung garis 12x – 5y – 39 = 0

Y Karena menyinggung garis 12x – 5y – 39=0
12x – 5y – 39 = 0 maka r yaitu jarak titik kunci O(0, 0)
dengan garis 12x – 5y – 39 = 0. Dengan
r X menggunakan rumus jarak titik terhadap
Udara murni garis diperoleh jar-jari :
r = ax1  by1  c

a2  b2

r = 12.0  (5).0  (39)  r = 3
122  (5)2

Jadi persamaan lingkarannya adalah x2 + y2 = 9

Hal 2

2.Persamaan Guri yang Berpusat di P ( a, b ) dan Berjari-jari r

Y A(x,y) Titik A(x, y) pada kalangan yang berpusat di P(a,b)

dan jari-jari lingkaran r, sehingga PA = r. Dengan

menggunakan rumus jarak antara dua titik, maka
r akan diperoleh rumus persamaan lingkaran:

P(a, b) (x2  x1 )2  ( y2  y1 )2  r
(x  a)2  ( y  b)2  r

(x  a)2  ( y  b)2  r 2

Adalah persamaan baku lingkaran dengan trik
X P(a, b) dan jari-jari r.
Udara murni

Contoh 2
Tentukan persamaan pematang yang :

a. berpusat di P(4, 3) dan r = 6
b. berpusat di P(5, -1) dan melangkahi A(-1, 7)
c. berpusat di P(2, 3) dan menyinggung 2x + 3y + 4 = 0
Jawab :
a. berpusat di P(4, 3) dan r = 6 maka diperoleh a = 4 dan b = 3

Pertepatan Lingkaran : (x  a)2  ( y  b)2  r 2

(x – 4)2 + (y – 3)2 = 62
(x – 4)2 + (y – 3)2 = 36

b. berpusat di P(5, -1) dan melewati A(-1, 7), maka r = panjang PA = PA . Dengan

menggunakan jarak dua titik diperoleh r = (1  5)2  (7  (1))2 = 10

Persamaan Halangan : (x  a)2  ( y  b)2  r 2

(x – 5)2 + (y + 1)2 = 102
(x – 5)2 + (y + 1)2 = 100
c. berpusat di P(2, 3) dan menyinggung 2x + 3y + 4 = 0
Ujung tangan-jari galengan merupakan jarak P(2, 3) dengan garis 2x + 3y + 4 = 0, diperoleh :

r = ax1  by1  c = 2.2  3.3  4 = 17
a2  b2 22  32 13

Paralelisme lingkaran: (x  a)2  ( y  b)2  r 2

(x – 2)2 + (y – 3)2 = 2

17

13

(x – 2)2 + (y – 3)2 = 289
13

13(x – 2)2 + 13(y – 3)2 = 289

Kejadian 3

C. Bagan UMUM PERSAMAAN Kalangan

Kemiripan landasan dengan pusat P(a, b) dan berjari-ujung tangan r mempunyai persamaan stereotip

(x  a)2  ( y  b)2  r 2 , jikalau bentuk ini dijabarkan maka diperoleh :
 x2 – 2ax + a2 + y2 – 2by + b2 = r2

 x2 + y2 – 2ax – 2by + a2 + b2 – r2 = 0, misalkan A = – 2a, B = – 2b dan C = a2 + b2 – r2

maka diperoleh

kerangka umum paralelisme lingkaran : x2  y2  Ax  By  C  0

Dengan Kiat P  A , B  dan jar-jari r    A 2    B 2  C
 2 2  2  2

Contoh 1
Tentukan buku dan jari-jari lingkaran x2 + y2 – 6x + 8y – 24 = 0 !
Jawab :
a. Limbung : x2 + y2 – 6x + 8y – 24 = 0 diperoleh A = – 6, B = 8 dan C = – 24

Pusat:   A , B  = (3, – 4)
 2 2

Jari – jari =   A 2    B 2  C
 2  2

r = 32  (4)2  (24) = 7

Arketipe 2
Lingkaran x2 + y2 + 4x + by – 12 = 0 melalui bintik (1, 7), tentukan sentral lingkaran tersebut !
Jawab :
Subtitusi (1, 7) ke galangan x2 + y2 + 4x + by – 12 = 0 diperoleh :
12 + 72 + 4.1 + b.7 – 12 = 0

7b = – 42  b = – 6
Pusat :   A , B  = (– 2, 3)

 2 2

Les 1

Jawablah dengan singkat, jelas dan benar !

1. Tentukan persamaan lingkaran nan berfokus di O(0,0) dan n kepunyaan

a. r = 2 3 b. r = 13

2. Tentukan persamaan landasan yang berpusat di Ozon(0,0) dan melangkahi titik :
a. ( – 3, 0 ) b. ( – 2, 3 )
3. Tentukan persamaan lingkaran yang berpusat di O(0,0) dan menyinggung garis :
a. x + 1 = 0 b.y=-6

4. Tentukan kemiripan lingkaran yang berpusat di P( 2, – 3 ) dan mempunyai jari jari 10

5. Tentukan pertepatan lingkaran yang berpusat di P( – 3, 1 ) dan menyinggung :
a. murang x b. x = 1
6. Tentukan paralelisme lingkaran yang berfokus di P( – 1, 4 ) dan melalui tutul :

a. ( – 7, 4 ) b. ( 3, 2 )

Hal 4

7. Tentukan persamaan halangan yang berdiameter garis AB dengan titik A ( -2,3 ) danB ( 6, 3)

8. Tentukan persamaan lingkaran yang berpusat di O(0,0) dan menyinggung garis
3x + 4y + 10 = 0
9. Tentukan pertepatan lingkaran yang berpusat di P(1, -2) dan menyinggung garis
2x + y – 20 = 0
10. Tentukan sentral dan jemari – jemari guri berikut :
a. 2×2 + 2y2 = 3 b. (x – 2)2 + (y + 5)2 = 12 c. x 2 + y 2 + 4x – 2y + 1 = 0
11. Halangan x 2 + y 2 – 4x + 2y + c = 0 melalui titik (0, -1). Tentukan jari-jarinya
12. Galangan x 2 + y 2 – 4x + 6y + m = 0 berjari-jemari 5. Tentukan skor m
13. Tentukan pertepatan lingkaran nan titik pusatnya terletak plong garis x= 2dan menyinggung
sumbu Y di titik (0, 3)
14. Tentukan persamaan pematang nan konsentris (sepusat) dengan lingkaran
x2 + y2 – 4x + 12y – 2 = 0 dan menerobos titik A(– 1, 5) !

15. Tentukan persamaan lingkaran nan pusatnya terdapat pada garis – 2x + y + 1 = 0, berjari-
jari 5 dan menyinggung sumbu X
16. Gudi x 2 + y 2 + 2px + 6y + 4 = 0 mempunyai jari-jari 3 dan menyinggung murang X.
Tentukan pusat Kalangan !
17. Limbung x 2 + y 2 + 6x + 6y + c = 0 menyinggung garis x = 2, tentukan angka c !
18. Titik (a, b) adalah pokok limbung x2 + y2 – 2x + 4y + 1 = 0, tent. Skor 2a + b !

Evaluasi 1
I. Membeda-bedakan jawaban nan bersusila soal soal berikut:

1. Persamaan landasan yang berpusat di O dan melintasi titik (3, 2) ialah ….
a. x2 + y2 = 2 c. x2 + y2 = 7 e. x2 + y2 = 13

b. x2 + y2 = 3 d. x2 + y2 = 11

2. Persamaan lingkaran dengan daya (2, -3) dan jemari-jari 4 adalah ….
a. x2 + y2 – 4x + 6x + 3 = 0
b. x2 + y2 – 4x + 6x – 3 = 0
c. x2 + y2 – 4x + 6x + 25 = 0
d. x2 + y2 – 4x + 6x – 25 = 0
e. x2 + y2 – 4x + 6x + 16 = 0

3. Persamaan gudi yang berpusat di (2, 8) dan menyinggung garis x – 7 = 0 adalah …
a. x2 + y2 – 4x – 16y – 25 = 0
b. x2 + y2 + 4x – 16y – 25 = 0
c. x2 + y2 – 4x – 16y + 43 = 0
d. x2 + y2 + 4x – 16y – 43 = 0
e. x2 + y2 – 4x + 16y + 43 = 0

4. Jeruji galengan dengan persamaan 2×2 + 2y2 = 36 ialah ….

a. 3 2 b. 6 c. 6 2 d. 18 e. 36

5. Persamaan lingkaran berfokus di (2, 3) yang melalui (5, -1) yakni …
a. x2 + y2 – 4x – 6y – 12 = 0
b. x2 + y2 – 4x – 6y – 25 = 0
c. x2 + y2 – 4x – 6y – 13 = 0
d. x2 + y2 – 2x – 3y – 10 = 0
e. x2 + y2 + 2x + 2y + 25 = 0

6. Galangan x2 + y2 + 4x + 6y – (8 + b) = 0 punya jari-deriji 5, maka nilai b adalah …
a. 1 b. 2 c. 3 d. 4 e. 5
Hal 5

7. Guri (x – a)2 + (y – b)2 = 81 akan menyinggung sumbu X jika …

a. a = 81 c. a = 9 e. a = 9 ataupun a = -9
b. b = 81 d. b = 9 atau b = -9

8. Pusat lingkaran 3×2 + 3y2 – 4x + 6y – 12 = 0 merupakan …

a. (2, 1) b. ( 2,-3) c. (-2,3 ) d.  2 ,1 e.  1 ,5
3  3 

9. Persamaan guri yang melalui bintik A(4, 3) dan B(-2, 5) serta pusat limbung pada garis
3x + 2y – 11 = 0 adalah ….
a. x2 + y2 – 2x – 8y + 11 = 0
b. x2 + y2 – 2x – 8y + 7 = 0
c. x2 + y2 + 2x + 8x – 11 = 0
d. x2 + y2 + 2x – 8y + 7 = 0
e. x2 + y2 + 2x + 8y + 11 = 0

10. Semoga kalangan x2 + y2 – 6x + 8y – p = 0 menyinggung garis 3x – 4y = 0, maka nilai p adalah
a. 0 b. 9 c. 11 d. 18 e. 25

II. Jawablah pertanyaan cak bertanya berikut !

1. Tentukan persamaan galangan yang berfokus di P( 0, – 4 ) dan mempunyai r = 3 – 2

2. Tentukan persamaan halangan yang berpusat di P(1, -2) dan menyinggung garis
6x – 8y = 10

3. Tentukan persamaan landasan yang pusatnya terletak pada garis x – y – 1 = 0, melalui

titik pangkal O (0, 0) dan berjari-jari 5

4. Tentukan pusat dan jari – jari lingkaran berikut

a. 3(x + 4)2 + 3(y – 1)2 = 27 b. 2x 2 + 2y 2 – 4x + 3y = 0
5. Tunjukkan bahwa garis 3x + 4y = 0 meyinggung kalangan yang berjar-jari 3 dan berpusat
dititik (5, 0)

D. POSISI / Kursi TITIK TERHADAP LINGKARAN
Ada tiga prospek posisi satu titik terhadap lingkaran:

1. Tutul terletak lega gudi, jika titik tersebut disubtitusikan ke persamaan lingkaran
didapat:
a. x2  y 2  r 2 atau
b. (x  a)2  ( y  b)2  r 2 maupun
c. x2  y2  Ax  By  C  0

Kejadian 6

2. Titik terletak di privat guri, jika tutul tersebut disubtitusikan ke persamaan lingkaran
didapat:
a. x2  y 2  r 2 ataupun
b. (x  a)2  ( y  b)2  r 2 atau
c. x2  y2  Ax  By  C  0

3. Tutul terletak di asing lingkaran, jika titik tersebut disubtitusikan ke persamaan lingkaran
didapat:
a. x2  y 2  r 2 atau
b. (x  a)2  ( y  b)2  r 2 atau
c. x2  y2  Ax  By  C  0
maupun Kedudukan titik terhadap guri bisa ditentukan menggunakan nilai kuasa.
Kuasa (K) adalah kemiripan landasan yang telah disubstitusi oleh koordinat tutul yang diuji.
K = x12 + y12 + Ax1 + By1 + C

1) Kalau K < 0, maka titik berada di dalam landasan.
2) Sekiranya K = 0, maka titik mampu pada lingkaran (menepati persamaan lingkaran).
3) Jika K > 0, maka tutul kreatif di luar gudi.

Cermin
Tanpa menulis pada bidang kartesius tentukan posisi titik A(1, 2) terhadap dok :

a. x2 + y2 = 9
b. (x – 2)2 + (y + 1)2 = 10
c. x2 + y2 + 6x – 2y + 3 = 0

Jawab :

a. Titik A(1, 2) dan L  x2 + y2 = 9
Subtitusi A(1, 2) ke L  x2 + y2 = 9 diperoleh 12 + 22 = 5 < 9. Makara A(1, 2) terletak di
dalam L  x2 + y2 = 9.

b. Titik A(1, 2) dan L  (x – 2)2 + (y + 1)2 = 10
Subtitusi A(1, 2) ke L  (x – 2)2 + (y + 1)2 = 10 diperoleh (1 – 2)2 + (2 + 1)2 = 10 = 10.
Makara titik A(1, 2) terletak pada L  (x – 2)2 + (y + 1)2 = 10.

c. Titik A(1, 2) dan L  x2 + y2 + 6x – 2y + 3 = 0
Subtitusi A(1, 2) ke L  x2 + y2 + 6x – 2y + 3 = 0 diperoleh 12 + 22 + 6.1 – 2.2 + 3 = 10
> 0. Bintang sartan titik A(1, 2) terletak di luar L  x2 + y2 + 6x – 2y + 3 = 0.

E. JARAK Titik PADA Pematang

1.Titik di luar pematang Jarak terdekat noktah A dengan lingkaran = AB
C AB = AP – PB = AP – r

 A Jarak terjauh titik A dengan Lingkaran = AC
AC = ( AP)2  (PC)2  ( AP)2  r 2
P B
dengan r = jari-ujung tangan lingkaran.

Situasi 7

2.Noktah di n domestik halangan Jarak terdekat titik A dengan galangan = AB
AB = PB – AP = r – AP
P B
A Jarak terjauh tutul A dengan Dok = AC
AC = CP + AP = r + AP
C
dengan r = jari-deriji gudi.

Contoh

Diberikan tutul A(6, 8) dan L  x2 + y2 = 49. Hitunglah jarak terdekat tutul A ke lingkaran L !

Jawab :
Mula-mula kita harus memaklumi posisi titik A terhadap lingkaran L dengan pendirian mensubtitusi titik

A(6, 8) ke L  x2 + y2 = 49, diperoleh :

A(6, 8)  x2 + y2 = 49  62 + 82 = 100 > 49 jadi titik A berlimpah diluar galengan.
Jarak terdekat = AP – r = (6  0)2  (8  0)2 – 7 = 3

Jadi jarak terpendek titik A ke lingkaran L adalah 3 satuan panjang.

F.Takhta GARIS TERHADAP Galangan
Secara ilmu ukur cak semau tiga kedudukan garis terhadap kalangan, yakni

 

(i) Garis menyusup Ldi dua titik (ii) Garis menyinggung L (iii) Garis tidak
Syarat : D > 0 Syarat : D = 0 Syarat : D < 0
Dengan D = Diskriminan = b2 – 4a

Contoh

Tentukan posisi garis y = 3x + 2 terhadap L  x2 + y2 + 4x – y + 1 = 0

Jawab :

Subtitusi garis y = 3x + 2 ke L  x2 + y2 + 4x – y + 1 = 0, diperoleh:
 x2 + (3x + 2)2 + 4x – (3x + 2) + 1 = 0

 10×2 + 13x + 3 = 0 sehingga nila a = 10, b = 13 dan c = 3

Nilai D = b2 – 4ac = 169 – 4.10.3 = 49 > 0
Karena diperoleh D > 0 maka garis y = 3x + 2 memotong ligkaran L di dua titik yang berlainan.

G .PERSAMAAN GARIS Sentuh LINGKARAN
1. Pers. Garis senggol lingkaran Melampaui Noktah pada Landasan
g
Garis g disebut garis senggol Lingkaran L di titik A(x1, y1).
Goresan :
A(x1, y1) 1. Titik A harus plong lingkaran L.
2. AP agak gelap harfiah dengan garis singgung g.

P(a, b)

Hal 8

Rumus Pertepatan Garis Singgung Limbung di noktah A(x1 , y1) :

Pers. Lingkaran Pers. Garis Singgung

x2 + y2 = r2 x1x + y1y = r2
(x – a)2 + (y – b)2 = r2 (x1 – a)(x – a) + (y1 – b)(y – b) = r2
x2 + y2 + Ax + By + C = 0 x1x + y1y + A (x + x1) + B (y + y1) + C = 0

22

Komplet
Tentukan paralelisme garis singgung dok :

a. L  x2 + y2 = 5 di bintik A(1, -2)
b. L  (x + 3)2 + (y – 2)2 = 58 di tutul B(0, 9)
c. L  x2 + y2 + 4x + 8y – 21 = 0 di tutul C(2, 1)

Jawab :

a. PGS L  x2 + y2 = 5 di titik A(1, -2) berarti x1 = 1, y1 = – 2 dan r2 = 5
PGS  x1x + y1y = r2  x – 2y = 5 atau x – 2y – 5 = 0. Kaprikornus pertepatan garis singgungnya

adalah x – 2y – 5 = 0.

b. PGS L  (x + 3)2 + (y – 2)2 = 58 di titik B(0, 9) berharga x1 = 0, y1 = 9, a = – 3, b = 2, r2 =

58

PGS  (x1 – a)(x – a) + (y1 – b)(y – b) = r2
 (0 + 3)(x + 3) + (9 – 2)(y – 2) = 58
 3x + 7y – 63 = 0

Makara pertepatan garis singgungnya yaitu 3x + 7y – 63 = 0.

c. PGS L  x2 + y2 + 4x + 8y – 21 = 0 di noktah C(2, 1) signifikan x1 = 2, y1 = 1, A = 4, B = 8,

C = – 21.

PGS  x1x + y1y + A (x + x1) + B (y + y1) + C = 0
22

 2x + 1.y + 2(x + 2) + 4(y + 1) – 21 = 0
 4x + 5y – 13 = 0

Jadi persamaan garis singgungnya ialah 4x + 5y – 13 = 0.

2. Pers. Garis singgung lingkaran Melalui suatu Titik di luar Lingkaran

Q A(x1 , y1) Awalan-langkah menentukan PGS dari titik di
luar pematang :
  1. Menentukan pertepatan garis kutub ( rumus

P nan digunakan seperti rumus mencari
R PGS lingk. diatas)
2. Menentukan titik singgung gudi (noktah Q
dan R) dengan mensubtitusikan pers. Garis
tara ke pers. Lingkaran.
3. Menentukan kemiripan garis singgung di noktah
singgung tersebut

Garis hubung QR disebut Garis n antipoda maupun garis polar. Hal 9
Garis hubung AQ dan AR disebut garis singgung lingkaran.

Eksemplar
Tentukan PGS pada x2 + y2 = 9 yang bisa ditarik berpangkal titik A(0, 4) !
Jawab :

(i) Menentukan persamaan garis tandingan/polar dari noktah A(0, 4), signifikan x1 = 0, y1 = 4, r2 = 9

Pertepatan Garis kutub  x1x + y1y = r2  0.x + 4y = 9  y = 9
4

(ii) Menentukan titik singgung galengan dengan cara mensubtitusi pers. Garis polar ke
paralelisme. Galangan.

Y = 9  x2 + y2 = 9
4

x2 +  9 2 = 9
4

x2 = 144  81 = 63
16 16

x1 = 3 7 atau x2 =  3 7
44

Jadi titik singgungnya  3 7 , 9  dan   37 , 9 
4 4 4 4

(iii).Menentukan kemiripan garis singgung L x2 + y2 = 9 di titik  3 7 , 9  dan   37 , 9 
4 4 4 4

Garis sentuh di titik  3 7 , 9   x1x + y1y = r2
4 4

 3 7x+ 9y=9 7 x + 3y – 12 = 0
44

 3 7 x + 9y = 36 

Garis senggol di titik   37 , 9   x1x + y1y = r2
4 4

 – 3 7 x + 9y = 36  7 x – 3y + 12 = 0
Jadi persamaan garis singgung L  x2 + y2 = 9 yang ditarik dari titik A(0, 4) merupakan

7 x + 3y – 12 = 0 dan 7 x – 3y + 12 = 0.

3. Pers. Garis senggol halangan dengan Gradien tertentu

PGS dengan Pers. Galengan Pers. Garis Singgung
gradien m

 x2 + y2 = R2 y  mx  r 1 m2
(x – a)2 + (y – b)2 = R2 y  b  m(x  a)  r 1 m2
P(a, b)

x2 + y2 + Ax + By + C = 0 y  b  m(x  a)  r 1 m2

Contoh
Tentukan persamaan garis singgung galangan :

a. L  x2 + y2 = 9 dengan gradien 2
b. L  (x + 2)2 + (y – 1)2 = 4 yang sejajar dengan garis 3x + 4y – 1 = 0

Kejadian 10

c. L  x2 + y2 – 2x + 6y + 5 = 0 yang tegak lurus garis x + 2y = 5

Jawab: 5 dan y = 2x – 3 5

a .L  x2 + y2 = 9 dengan gradien 2 berarti m = 2, r = 3
PGS  y  mx  r 1 m2  y = 2x  3 1  22
y = 2x  3 5

Jadi persamaan garis singgungnya adalah y = 2x + 3

b. L  (x + 2)2 + (y – 1)2 = 4 nan sejajar dengan garis 3x + 4y – 1 = 0, bermanfaat a = – 2,
b = 1, dan r = 2. Gradien garis 3x + 4y – 1 = 0 adalah m1 =  4 .
3

Syarat dua garis sejajar m1 = m2. Kaprikornus m2 =  4 .
3

PGS  y  b  m(x  a)  r 1 m2  y – 1 =  4 (x + 2)  2 1 16
39

y – 1 =  4 (x + 2)  2 25
39

y – 1 =  4 (x + 2)  10
33

3y – 3 = – 4x – 8  10

4x + 3y = 3 – 8 + 10 atau 4x + 3y = 3 – 8 – 10
4x + 3y = 5 atau 4x + 3y = – 15
Jadi kemiripan garis singgungnya ialah 4x + 3y – 5 = 0 atau 4x + 3y + 15 = 0.

c. L  x2 + y2 – 2x + 6y + 5 = 0 nan tegak verbatim garis x + 2y = 5

Dari L  x2 + y2 – 2x + 6y + 5 = 0 diperoleh A = – 2, B = 6 dan C = 5
Pusat dok = (1, -3) dan r = 1 9  5 = 5
Dari x + 2y = 5 diperoleh m1 =  1 , karena tegak lurus maka m1.m2 = – 1, diperoleh m2 = 2

2

PGS  y  b  m(x  a)  r 1 m2

y + 3 = 2(x – 1)  5 1  22
y + 3 = 2x – 2  5
2x – y – 5  5 = 0

Kaprikornus persamaan garis singgungnya adalah 2x – y = 0 atau 2x – y – 10 = 0

H. Kedudukan Dua Lingkaran
1. Dua Lingkaran L1 dan L2 dengan titik pusat P1 dan P2 sedangkan ujung tangan- jari r1 dan r2

Kedudukan galengan L1 terhadap L2 ditentukan maka itu biji diskriminan D = b2 – 4ac,
hasil dari substitusi kedua persamaan lingkaran tersebut dengan kadar :

Hal 11

a. Jika D = 0 kedua lingkaran bersinggungan di satu titik

b. Jika D < 0 kedua lingkaran saling lepas

3. Kalau D > 0 kedua kalangan berpotongan di dua bintik
Dalam hal ini : r1 + r2 > P1 P2

contoh
1. singgasana guri x2 + y2 – 8x + 6y + 1 = 0 terhadap lingkaran

x2 + y2 + 4x + 2y – 7 = 0 adalah bersilang di dua noktah,
karena:
x2 + y2 – 8x + 6y + 1 = 0
x2 + y2+ 4x + 2y – 7 = 0 –

-12 x + 4y +8 = 0 Maka y = 3x -2
Sehingga x2 + ( 3x – 2)2 – 8x + 6( 3x-2) +1 =0

x2 + 9×2 – 12x + 4 -8x +18x -12 +1 = 0
10×2 – 2x -7 = 0

Ambil D = (-2)2 – 4 (10)(-7) = 287 > 0
Karena D >0 , Maka kedua pematang berpotongan di dua tutul

Situasi 12

2. Bagaimanakah kedudukan pematang x2 + y2 + 4x + 2y – 15 = 0 dan lingkaran
x2 + y2 – 8x – 4y + 15 = 0

Jawab
x2 + y2 + 4x + 2y – 15 = 0
x2 + y2 – 8x – 4y + 15 = 0 –
12x + 6y -30 = 0 Maka y = 5 -2x

Sehingga x2 +( 5 -2x )2 + 4x + 2( 5 -2x ) -15 = 0
x2 + 25 – 20x + 4×2 + 4x + 10 – 4x – 15 = 0
5×2 – 20x + 20 = 0
x – 4x + 4 = 0

Ambil D = (-4)2 – 4 ( 1) (4) = 0 Karena D= 0 Maka kedua dok berselisih
Koordinat pusat dan deriji jari gudi x2 + y2 + 4x + 2y – 15 = 0

Rahasia P   A , B  Jari – jari r1 = A2  B 2  C

 2 2 44

P   4 , 2  r1 = 42  22  (15)

 2 2 44

P ( -2 , -1 ) r1 = 4 115 = 2√5

Koordinat gerendel dan jemari- jari lingkaran x2 + y2 – 8x – 4y + 15 = 0

Pusat P   A , B  Jari – jari r2 = A2  B 2  C

 2 2 44

P    8 ,  4  r2 =  82   42  (15)
r2 = 44
 2 2
16  4 15 = √5
P(4,2)

Jadi kedua pusat mlingkaran adalah P1 P2 = 4  (2)2  2  (1)2

P1 P2 = 62  32 = 45 = 3√5
Karena r1 + r2 = 2√5 + √5 = 3√5 = P1 P2 = 3√5 , Maka kedua lingkaran bersinggungan
diluar

I. Persamaan Garis ( Tali Busur ) Dari Dua Gudi Yang Bersilang

A P2 L1 halangan dengan pusat P1 dan
r1 kisi r1 ( AP1) atau BP1
P1 M
c1 L2 galengan dengan pusat P2 dan
jari-jari r2 ( AP2) atau BP2
B
AB = tali gandi pecah dua halangan

Persamaan garis ( tali busur) L1 dan L2 adalah:
L1 – L2 = 0

P1 M ( c1) dan P2 M ( c2 ) merupakan jarak yang agak kelam lurus terhadap tali lung
Tataran Garis AB ( tali gandi ) : 2AM = 2 r12  c12 = 2 r22  c22

Hal 13

Contoh:
1. Tentukan Persamaan rayon gendewa perkongsian dari guri x² + y² = 25 dan lingkaran

x² + y² – 4x + 6y – 3 = 0
Jawab :
Persamaan dua biji kemaluan lingkaran yaitu
x² + y² = 25
x² + y² – 4x + 6y – 3 = 0
Substitusikan persamaan galangan (1) ke persamaan landasan (2)
x² + y² = 25
x² + y² – 4x + 6y – 3 = 0
25 – 4x + 6y – 3 = 0
-4x + 6y + 22 = 0 ……. kedua ruas dibagi (–2)
2x – 3y – 11 = 0
Kaprikornus paralelisme sutra busur sekutu dua persamaan lingkaran tersebut ialah 2x – 3y – 11=0

Pelajaran 2
Jawablah dengan sumir, jelas dan ter-hormat
1. Tentuan posisi titik berikut terhadap kalangan yang berpusat di O(0 , 0) dan berjari-jari 8 !

a. (2,1) b. (4, -4 3 ) c. (-5,7) d. (0 , 8)

2. Tentuan posisi bintik berikut terhadap galengan (x 1)2  ( y  2)2  16 !
a. (-3,-3) b. (-5,2) c. (3,1) d. (1,-2)

3. Tentuan posisi titik berikut terhadap halangan x2  y2  4x  8y  5  0
a. (-2,9) b. (8,1) c. (-2,-1) d. (1,2)

4. Tentukan biji p jika titik (-5, p) terdapat plong lingkaran x 2 + y 2 + 2x – 5y – 21 = 0 !

5. Tentukan nilai a jika noktah (3, 4) terwalak pada guri x 2 + y 2 + ax + 6y – 37 = 0 !

6. Berapakah jarak antara titik dengan landasan berikut :

a. (7, 4) dan x 2 + y 2 + 6x – 8y = 0 c. (3 , 5) dan x 2 + y 2 + 3x – 7y – 18 = 0
b. (-2 , 6) dan x 2 + y 2 = 16

7. Tentukan jarak terjauh titik P(3, 2) ke L  (x – 2)2 + (y – 1)2 = 32 !

8. Tentukan tangga garis singgung terbit titik P(5, -2) ke L  x2 + y2 – 2x – 8y – 10 = 0 !

9. Diketahui titik Lengkung langit(4, 6) dan L  (x + 3)2 + (y + 2)2 = 32.

a. Tentukan posisi titik N terhadap lingkaran L
b. Hitunglah jarak terpendek titik T ke lingkaran L
c. Hitunglah jarak terjauh bintik T ke lingkaran L
d. Panjang garis singgung noktah N ke halangan L

10. Tangga garis singgung yang ditarik berpangkal bintik R(4, 5) terhadap lingkaran L  x2 + y2 + 2kx = 0

ekuivalen dengan satu rincih strata. Hitunglah nilai k

11. Selidiki asosiasi garis dan dok berikut ini :
a. 2x + y – 4 = 0 dan x2 + y2 = 25
b. y = 2x dan x2 + y2 + 4x – y + 1 = 0

12. Tentukan PGS x2 + y2 = 20 dititik (2, 4) !

13. Tentukan PGS (x – 1)2 + (y – 5)2 = 9 dititik (1, 2) !

14. Tentukan PGS x2 + y2 + 6x – 4y – 45 = 0 dititik (4, -1) !

Hal 14

15. Tentukan PGS x2 + y2 + 4x – 9y – 10 = 0 di tutul dengan absis – 4 !

16. Tentukan persamaan garis singgung pada L  x2 + y2 = 16 yang :
a. bergradien 2

b. Takut lurus garis y = 2x – 4
c. Sejajar garis 2x – y – 4 = 0

Evaluasi

I Membeda-bedakan satu jawaban nan tepat !
1. Jarak antara titik pusat lingkaran x2 – 4x + y2 + 4 = 0 berpokok sumbu Y merupakan ….
a. 3 b. 2,5 c. 2 d. 1,5 e. 1
2. Jarak terdamping antara bintik (-7, 2) ke lingkaran x2 + y2 – 10x – 14y – 151 = 0 adalah …
a. 2 b. 3 c. 4 d. 8 e. 13
3. Jika titik (-5, k) terletak sreg guri x2 + y2 +2x – 5y – 21 = 0, maka nilai k adalah …
a. -1 maupun -2 c. 0 atau 3
b. 2 alias 4 d. 1 ataupun -6 e.-1 atau 6
4. Keseleo suatu paralelisme garis singgung berasal titik (0, 2) pada galangan x2 + y2 = 1 yakni

a. y = x 3 – 2 c. y = – x 3 – 2 e. y = – x 3 + 1

b.y = x 3 + 1 d. y = – x 3 + 2

5. Persamaan garis senggol lingkaran x2 + y2 – 20x + 16y + 139 =0 di titik (6, -5) merupakan ….
a. 4x + 3y + 39 = 0 c. 4x – 3y – 39 = 0 e. 3x + 4y – 39 = 0
b. 4x + 3y – 39 = 0 d. 4x – 3y + 39 = 0
6. Paralelisme garis singgung melelui titik (0, 5) puas halangan x2 + y2 = 20 adalah ….
a. 2x + y = 10 dan -2x + y = 10 d. 2x + y = -10 dan2x – y = 1
b. x + 2y = 10 dan x – 2y = -10 e. x + 2y = -10 dan x – 2y = – 1
c. x + 2y = 10 dan x – 2y = 10
7 Persamaan garis singgung di bintik (-3, 4) pada lingkaran x2 + y2 = 25 adalah …
a. 3y – 4x + 25 = 0 d. 4y + 3x – 25 = 0
b. 3y + 4x – 25 = 0 e. 4y – 3x – 25 = 0
c. 4y – 3x + 25 = 0
8. Persamaan garis singgung melampaui (5, 1) pada lingkaran x2 + y2 – 4 x + 6y – 12 = 0 adalah …
a. 3x + 4y – 19 = 0 d. 4x – 3y + 19 = 0
b. 3x – 4y – 19 = 0 e. x – 7y – 26 = 0
c. x + 7y – 26 = 0
9. Garis sentuh galengan x2 + y2 = 13 dititik (2, 3) menyinggung lingkaran
(x – 7)2+(y – 4)2 = a. Nilai a merupakan …

a. 5 b. 13 c. 5 d. 12 e. 13

10. Salah satu persamaan garis singgung plong lingkaran x2 + y2 – 2x + 4y – 4 = 0 yang sejajar
dengan garis 5x – 12y + 15 = 0 adalah
a. 5x – 12y + 10 = 0 c. 5x + 12y + 10 = 0
b. 5x – 12y – 10 = 0 d. 5x + 12y – 10 = 0 e. 5x – 12y + 68 = 0

II. Jawablah dengan sumir, jelas dan benar

1. Diberikan titik R(1, 4) dan lingkaran L  x2 + y2 – 2y = 1.

a. Tentukanposisi noktah R terhadap L
b. Kemiripan garis polar gudi berbunga titik R

Keadaan 15

2. Tentukan jarak antara bintik (1 , 2) dengan lingkaran x 2 + y 2 – 2x – 4y + 1= 0
3. Selidiki afiliasi garis 3x + 4y – 12 = 0 dan lingkaran (x – 2)2 + (y + 1)2 = 4

4. Tentukan PGS (x – 3)2 + (y + 1)2 = 5 dititik (1, 0) !

5. Tentukan persamaan garis senggol pada L x2 + y2 – 6x + 2y – 6 = 0 yang :
a.bergradien
b.tegak literal dengan 2x – 8y – 5 =
c.sejajar dengan y + 2x = 1

Situasi 16

DAFTAR PUSTAKA
Drs. Sumadi dkk. 1966. Matematika SMU 2A. Istimewa : Tiga Serangkai.
Sukino. 2007 dan 2022. Matematika Buat SMA Papan bawah XI. Jakarta : Erlangga.
Cak regu Galaksi. 2004. Bimasakti SMU Matematika II A. Klaten : CV.Merpati.
Cak regu Perakit. 2007. 2007 Soal Pemantapan UN Matematika. Bandung : Yrama Widya.
Sukino,Matematika peminatan kelas bawah XI kurikulum 2022 penerbit erlangga

Hal 17

Source: https://anyflip.com/ardvv/tyuz/basic