Bahan Ajar Matematika Suku Banyak

BAHAN Ajar A. PENGERTIAN Suku BANYAKPersamaan kuadrat ax2 + bx + c merupakan salah suatu bagan kaki banyak, tepatnya suku banyak berderajat dua. Dikatakan berderajat dua, karena pangkat tertinggi variebel x adalah 2. Pengertian akan halnya pertepatan kuadrat berguna untuk memahami rancangan tungkai banyak lainnya. Contoh : 1. y 1 merupakan suku banyak intern variebel y berderajat suatu, sebab pangkat tertinggi variebel y adalah 1. 2. -10×4 + 8×3 7×2 + 9 merupakan suku banyak n domestik variebel x berderajat empat, sebab tangga tertinggi variebel x yakni 4. Tulang beragangan-tulang beragangan tersebut di atas merupakan tulang beragangan-rencana suku banyak nan secara umum dapat ditulis seumpama berikut. Rajah anxn + an-1xn-1 + an-2xn-2 + … + a1x + a0dengan an = 0 dan n bilangan cacah, disebut suku banyak dalam variebel x berderajat n. an, an-1, an-2, … a1, a0 merupakan suratan-bilangan betulan yang merupakan koefisien-koefisien tungkai banyak dari masing-masing variebel x, sedangkan a0 disebut suku tetap. Contoh : 1. Tentukan koefisien berusul suku banyak 7×7 5×6 + 7×5 5×4 – 2×3 + 3×2 2x Jawab Kaki banyak 7×7 5×6 + 7×5 5×4 – 2×3 + 3×2 2x adalah suku banyakm dalam variebel x berderajat 7. Koefisien x7 adalah -5, koefisien x6 adalah 6, koefisien x5 adalah 7, koefissssien x4 adalah -5, koefisien x3 adlah -2, koefisien x2 merupakan 3, koefisien x yakni 2, sedangkan suku tetapnya. 2. Tentukan koefisien-koefisien dari suku banyak (3t + 2) (2t3 1). Jawab (3t + 2) (2t3 1) dapat dijabarkan menjadi 6t4 + 4t3 3t 2 sehingga (3t + 2) (2t3 1) merupakan suku banyak dalam variebel t berderajat 4. Koefisien t4 merupakan 6, koefisien t3 ialah 4, koefisien n ialah 3, sedangkan tungkai tetapnya merupakan -2. 3. Tentukan koefisien suku x3, koefisien x2, koefisien x, dan suku konsisten nan menetapi pertepatan ax3 + bx2 + cx + d = 5×3 2×2 + 4. Jawab Gambar ax3 + bx2 + cx + d sejajar dengan 5×3 2×2 + 4 sehingga a = 5, b = -2, c = 0, dan d = 4. Jadi koefisiennya x3 merupakan 5, koefisien x2 yaitu 2, koefisien x adalah 0, dan suku tetap adalah 4. Kamil di atas menggambarkan sifat ekuivalensi dua kaki banyak. Jika dua buah kaki banyak dalam variebel x memiliki nilai sama untuk setiap nilai x, maka koefisienkoefisien suku-suku yang sepangkat adalah selaras.

1

anxn + an-1xn-1 + an-2xn-2 + … + a1x + a0 = bnxn + bn-1xn-1 + bn-2xn-2 + … + b1x + b0 maka : an = bn, an-1 = bn-1, , a1 = b1, dan a0 = b0 B. Nilai Tungkai Banyak Jika suatu anxn + an-1xn-1 + an-2xn-2 + … + a1x + a0dengan an = 0 dinyatakan dengan f(x), maka nilai suku banyak itu untuk x = k, yaitu f(k) dapat engkau tentukan dengan dua kaidah, adalah substitusi dan skematik. 1. Cara substitusi Dengan pendirian substitusi, nilai suku banyak f(x) kerjakan x = k didapat dengan mensubstitusikan biji k terhadap variebel x. Kredit tungkai banyak f(x) = anxn + an-1xn-1 + an-2xn-2 + … + a1x + a0 , untuk x = k adalah: ankn + an-1kn-1 + an-2kn-2 + … + a1k + a0, dengan k ganjaran real. Contoh : Tentukanlah nilai suku banyak f(x) = -3×3 + 2×2 x + 2 untuk x = 0, x = -1, x = 2. Jawab: Untuk x = 0 => f(0) = -3(0)3 + 2(0)2 (0) + 2 Jadi f(0) = 2 Cak bagi x = 1 => f(-1) = -3(-1)3 + 2(-1)2 (-1) + 2 = -3(-1) + 2(1) + 1 + 2 =8 Makara f(-1) = 8 Bagi x = 2 => f(2) = -3(2)3 + 2(2)2 (2) + 2 = -3.8 + 8 2 + 2 = – 16 Kaprikornus f(2) = -16 2. Cara skematik Puas contoh di atas, tungkai banyak f(x) = -3×3 + 2×2 x + 2 dapat ditlis ibarat beikut. f(x) = -3×3 + 2×2 x + 2 = (-3×2) + 2x 1)x + 2 = ([-3x + 2]x 1)x + 2 Dengan menggunakan mandu penulisan tersebut, kamu dapat menentukan nilai f(x) buat x = 2 f(2) = ([-3.2 + 2]2 1)2 + 2 = ([-6 + 2]2 1)2 + 2 = (-4.2 1)2 + 2 = (-8 1)2 + 2 = -9.2 + 2 = – 18 + 2 Algoritma diatas adlah ebagai berikut. 1. Kalikan -3 dengan 2. Tambahkan akibatnya dengan 2. Didapat -4. 2. Kalikan -4 dengan 2. Tambahkan akibatnya dengan -1. Didapat -9. 3. Kalikan -9 dengan 2. Tambahkan hasilnya dengan 2. Didapat -16 Proses ini dapat disajikan dalam bentuk skema berikut.

2

Suku ke-3

Suku ke-2

Tungkai ke-1

Suku ke-0

2 banyak

-3

2

-1

2

Konstanta pada suku

-6 -3 -4

-8 9

-18 -16

Dari skema tersebut, didapat f(2) = -16. Tanda berarti kalikan dengan 2.

1. Kalikan a denan k. tambahkan hasilnya dengan b. didapat ak + b. 2. Kalikan ak + b dengan k. tambahkan hasilnya dengan c. didapat (ak + b)k + c. 3. Kalikan (ak + b)k + c dengan k. tambahkan balasannya dengan d. didapat ((ak + b)k + c)k + d. Contoh tersebut menggambarkan prinsip menentukan nilai tungkai banyak f(x) bagi x = k, adalah ibarat berikut. k a b c d

ak

ak2 + bk

ak3 + bk2 + ck +

a

ak + b koefisien hasil untuk

ak2 + bk + c

ak3 + bk2 + ck + d sisa

Cap

berarti kalikan dengan k.

Menentukan nilai suku banyak f(k) dengan prinsip ini disebut dengan cara skematik. Contoh: Tentukan nilai tungkai banyak f(x) = 2×3 + 5×2 6x + 5 lakukan x = 1 1 2 5 -6 5

3

12

9 +

2

8

6

14

3

Tanda

bermakna kalikan dengan 1 .

Jadi f(1 ) = 14. Gosok Kemampuan 1 Waktu : 60 menit 1. Tentukanlah variebel, derajat, suku tegar, dan koefisien-koefisien berpokok tiap-tiap variebel tungkai banyak berikut! a. 7×2 + 5×3 e.

b. z + 4z2 5z3 + 2z4 f. (r 1) (r 2)2 (r 2 )3 (r 2)4 c. 33 (y + 3)3 g. [(2s + 7)2 (-7 + 4s)] d. (2 2p + 2p2)2 h. 2 sin3x cos2x 2 sin x 2. Tentukan koefisien berpokok: a. p2 berasal (5 3p)3 d. s4 dari (s2 2s + 1)3 b. q5 dari (-5q + 3)2 (-q 2)2 e. ufuk dari (t 1) (horizon + 2) (horizon + 3)t c. r bersumber (2r 3) (4r + 2) (6 + r) 3. Tentukanlah poin A, B, dan C yang menepati paralelisme-persamaan berikut! a. -7×2 + 2x + 9 = Px3 + Qx2 + Rx + 7 b. c. =

4. Tentukanlah A + B + C + D bakal angka A, B, C, dan D yang memenuhi persamaan-kemiripan berikut! a. x4 7×2 + 1 = (x2 + Ax + B) (x2 + Cx + D) b. c. = = + +

5. Tentukan nilai setiap suku banyak berikut dengan menunggangi cara substitusi dan pendirian skematik. a. f(x) = 7×5 + 2×3 5×2 -2x, buat x = -3 b. g(x) = 5×3 + 2×2 10x + 3, cak bagi x = c. h(x) = 6 x 2×2 + 3×3, untuk x = -1 d. f(lengkung langit) = 5t4 + t3 t2 + cak bagi falak = 0,4 e. g(t0 = 3 4t2 + 3t3, bagi n = -0,2

C. Pembagian Tungkai Banyak – Hubungan antara nan dibagi, pembagi, hasil bagi, dan sisa pengalokasian. Momen SD telah dipelajari pengalokasian dengan kaidah bertingkat singkat. Misalnya, bilangan 467 dibagi 6 diolah dengan cara bersusun pendek sama dengan berikut. Dari pendistribusian disamping, terletak hubungan berikut. Hasil bagi 467 = 6 x 77 + 5 Yang dibagi Pembagi Hasil bakal Kotoran

77 6 467Pembagi

42 47 42 5

Yangdibagi

4 Feses

Jadi asosiasi antara yang dibagi, pembagi, hasil bagi, dan cerih pembagian adalah bagaikan berikut. Yang dibagi = Pembagi x Hasil bagi + Sempelah Cara ini dapat digunakan buat menguasai kaki banyak Contoh: Tentukanlah hasil bagi dan sisa pembagian x2 + 4x + 3 Hasil cak bagi 3 2 2x + 5x 6x + 5 maka itu 2x 3. 2x – 3 2×3 + 5×2 6x + 5 Nan dibagi 2×3 + 5×2 Jawab: 2 Terbit pembagian di samping, di dapat 8x – 6x + 5 Pembagi hubungan berikut. 8×2 – 12x 6x + 5 6x 9 14 Sisa 2×3 + 5×2 6x + 5 =(2x 3) x (x2 + 4x + 3) + 14

Yang dibagi Pembagi Hasil Sisa 2 Hasil pembagian ini adalah x + 4x + 3, sedangkan sisanya 14. Tampak bahwa, Derajat berak = derajat pembagi 1 Derajat hasil untuk = derajat yang dibagi Derajat pembagi. Sekiranya satu suku banyak f(x) berderajat ufuk dibagi oleh suku banyak g(x) berderajat rendah berbunga horizon, maka didapat suatu hasil untuk h(x) dan sisa pembagian s(x) sebagai berikut. f(x) = h(x)g(x) + s(x) 2. Gosok Kemampuan Waktu : 45 menit 1. Untuk pengalokasian berikut! Nyatakanlah hasilnya dalam gambar: Yang dibagi = pembagi x hasil bakal + sempelah. a. 707 : 77 d. 19.921 : 21 b. 2.864 : 24 e. 10.201 : 1.331 c. 9.669 : 38 2. Kerjakan pendistribusian berikut! Nyatakanlah alhasil privat kerangka: Yang dibagi = pembagi x hasil bikin + sisa. a. -3×3 9×2 5x + 9 maka itu x + 3 b. -6x 8 + 8×3 + 7×2 oleh -10 x c. 9y4 + 7y3 + 5y2 + 3y + 1 maka dari itu 3y 2 d. 2t + 5t6 + 12t3 maka dari itu 5t + 3 e. u 4u2 + 5u3 2u4 + 6 oleh (u 1)2 3. Berapakah sisa pembagian f(x) = 3×2 7x + 4 oleh x -2. Bandingkan sisa itu dengan f(2). Tentukan pun derajat residu dan derajat hasil baginya! 4. Berapakah sisa pembagian g(x) = 5×5 + 3×3 + x maka itu 4 + x. Bandingkan sempuras itu dengan f(-4). Tentukan pun derajat tinja dan derajat hasil baginya! 5. Berapakah hasil cak bagi dan tinja pengalokasian f(x) = x4 2×3 3x 7 maka itu x2 2x 3? – Penjatahan suku banyak dengan pendirian horner 1. Pembagian kaki banyak dengan x k

5

k

Misalkan, suku banyak f(x) = ax3 + bx2 +cx + d dibagi dengan x k memberikan hasil bagi h(x) dengan pungkur s(x), maka dapat ditulis : f(x) = (x k)h(x) + s(x) Hasil bagi h(x) dan sisa s(x) ini diperoleh dengancara horner sebagai berikut. a b c d ak ak2 + bk ak3 + bk2 + ck

+ a ak + b koefisien hasil bagi Tera berjasa kalikan dengan k. ak2 + bk + c ak3 + bk2 + ck + d sisa

Pada penggalan sebelumnya, sudah lalu diketahui bahwa derajat hasil lakukan = derajat yang dibagi derajat pembagi, sedangkan derajat sisa = derajat pembagi 1. Karena derajat yang dibagi 3 dan derajat pembagi 1, maka derajat pembagi merupakan 2 dan derajat sisa 0. Perhatikan skema pencatuan dengan cara horner diatas. Berasal skema di atas, diketahui koefisien hasil bagi berturut-turut menirukan resan tingkatan ambruk a, ak + b, ak2 + bk + c. Hasilnya hasil bagi tersebut yaitu ax2 + (ak +b)x + ak2 + bk + c. Mengenai residu pengalokasian adalah ak3 + bk2 + ck + d. Contoh: Tentukan hasil bagi dan feses pada pendistribusian x3 x2 32x + 70 maka itu x 2 Jawab: 2 1 -1 2 -32 2 70 -60 + 1 1 koefisien hasil bagi Logo berarti kalikan dengan 2. -30 -10Sisa

Kaprikornus, hasil baginya adalah x2 + x 30sedangkan sisanya yaitu 10. 2. Pembagian suku banyak dengan ax b Sekiranya suku banyak f(x) dibagi x h, hasil baginya h(x) dan sisanya s, maka dipreoleh paralelisme f(x) = (x h)h(x) + s. Saat ini jika suku banyak f(x) dibagi (x + ), hasil baginya B(x) dan sisanya s1, maka diperoleh persamaan f(x) = (x + )B(x) + s1. Bermula f(x) = (x + )B(x) + s1 diperoleh f(x) = a(x + ) + s1 atau

6

f(x) = (ax +

)

+ s1. Geladir pembagian ini yakni s1, adalah sisa pada pengalokasian f(x) dengan (x dengan B(x) hasil untuk pada pembagian f(x) oleh(x + ).

+ ), sedangkan hasil baginya

Konseptual: Tentukan hasil bagi dengan feses pendistribusian f(x) 2×4 5×3 + 6 oleh 2x + 3. Jawab: Feses pembagian f(x) denan 2x + 3 sama dengan sisa pencatuan f(x) dengan x + . 2 -5 -3 0 12 0 -18 6 27 + 2 -8 12 -18 33Sisa

koefisien hasil untuk B(x) Tanda berarti kalikan dengan

. = x3 4×2 + 6x 9,

Makara, hasil baginya adalah sedangkan sisanya yaitu 33.

3. Pembagian suku banyak dengan ax2 + bx + c Jika pembagian ax2 + bx + c bisa difaktorkan atas factor-faktor linearnya maka pembagian suku banyak f(x) makanya ax2 + bx + c bisa dilakukan dengan cara Horner dua tahap pengerjaan. Contoh: Tentukanlah hasil kerjakan dan feses pembagian 2×4 5×3 + 7×2 + 4x 2 oleh 2×2 + 3x-2. Jawab: Bahkan sangat, selidik apakah pembaginya, yaitu 2×2 + 3x-2 dapat difaktorkan atas factor-faktor linear? 2 2x + 3x-2 = (x + 2) (2x 1) Ternyata, 2×2 + 3x-2 boleh difaktorkan menjadi (x + 2) (2x 1). Kemudian, untuk 2×4 5×3 + 7×2 + 4x 2 dengan x + 2. Setelah itu, hasil baginya dibagi dengan (2x 1). -2 2 -5 7 4 -2 -4 18 -50 92 + 2 9 1 25 -4 -46 10,5 + 2 -8 21 -35,5Sisa ke-2

90

Sisa ke-1

7

Kaprikornus, hasil untuk 2×4 5×3 +7×2 + 4x 2 adalah x2 4x +10,5, padahal sisanya adalah -(35,5)(x + 2) + 90 = -35,5x + 19. Sekarang, bagaimana jika pembagi ax2 + bx + c enggak dapat difaktorkan atas factor-faktor linearnya? Untuk kasus ini, pembagian tungkai banyak f(x) oleh ax2 + bx + c dilakukan dengan cara berpangkat sumir, sebagai halnya sreg cermin berikut. Cermin: Tentukan hasil bagi dan sisa pembagian 2×4 3×3 + 5×2 + x 7 oleh x2 x + 3 Jawab: 2×2 x 2 x x + 3 2×4 3×3 + 5×2 + x 7 2×4 – 2×3 + 6×2 -x3 – x2 + x 7 -x2 + x2 3x -2×2 + 4x 7 -2×2 + 2x 6 2x – 1 Kaprikornus, hasil buat dari 2×4 3×3 + 5×2 + x 7 merupakan 2×2 x 2 3. Gosok Kemampuan2

Periode : 60 menit 1. Tentukanlah hasil kerjakan dan sempuras pada pengalokasian suku banyak berikut! a. 5×3 2×2 + 7x + 9 dibagi x + 5 b. x4 3×3 + 6×2 9x + 12 dibagi x + 2 c. x4 + 3×3 + 4×2 + 5x 6 dibagi x2 + 3x + 2 d. x5 4×4 + 5×2 + 6x + 9 dibagi 7 + 3x + 4×2 2. Diketahui f(x) = 5×3 4×2 + 3x 2. Takdirnya g(x) dan h(x) per hasil bakal f(x) dengan x 4 dan x 3, tentukan 5g (x) 4f(x). 3. Sekiranya kaki banyak x3 + px2 2x + q sangat dibagi x2 2x 8, tentukanlah nilai p dan p. 4. Jika suku banyak 2×3 + ax2 + 8x + b dibagi x2 + x + 1 bersisa 5x 2, tentukanlah hasil baginya! 5. Takdirnya x3 4×2 + 5x + p dan x2 + 3x 2 dibagi x + 1 memberikan sisa pembagian yang sama, tentukanlah nilai p. 6. Tungkai banyak x4 ax2 + 2×2 + bx + 5 jika dibagi oleh (x-2) bersisa 7, sementara itu kaki banyak tersebut dibagi (x + 3) akan memberikan sisa 82. Berapakah nilai mulai sejak a2 + b2? 3. Teorema sisa a. Teorema 1 : Teorema Sisa dengan Pembagi x k Jika suatu kaki banyak f(x) berderajat n dibagi x k, maka sisanya f(k). b. Teorema 2 : Teorema Tahi dengan Pembagi ax + b Jika suatu suku banyak f(x) berderajat n dibagi ax + b, maka sisanya f( ). c. Teorema 3 : Teorema Kotoran dengan Pembagi (x a)(x b) Jika satu suku banyak f(x) berderajat n dibagi ax2 + bx + c, maka hasil baginya h(x) berderajat falak 2 dan sisanya s(x) = px + q. Takdirnya pembagi g(x) bisa difaktorkan menjadi faktor-faktor linear (x c)(x d), maka sisa pembagian suku banyak f(x) maka dari itu (x c)(x d) merupakan s(x) = px + q dengan p = dan q = .

8

9

Source: https://dokumen.tips/documents/bahan-ajar-suku-banyak-55cb7c7da7b14.html