Bahan Ajar Matematika Tentang Persamaan Lingkaran

Matematika
Peminatan
Persamaan
Lingkaran

Kelas XI Mipa
Semester genap

IZZA . M

MODUL

MATEMATIKA PEMINATAN KURIKULUM 2022
KELAS XI IPA

SEMESTER GENAP (II)

DISUSUN OLEH
IZA MISWATI

UPT SMA Area 4 BANGKALAN
JALAN PERTAHANAN NO 4
BANGKALAN
Bagi Dok Koteng

Kata pengantar
Puji syukur yang tidak terperingkatkan penulis panjatkan kehadirat Allah SWT, atas
apa rahmat dan hidayah-Nya, dabir dapat menyelesaikan modul ilmu hitung Bakal
SMA/MA Papan bawah XI Semester 2 Kurikulum 2022 ini dengan baik.
Modul matematika ini disusun dengan pamrih untuk membantu siswa dalam
memahami materi-materi matematika dengan maksud nantinya dapat meningkatkan
hasil sparing siswa. Materi yang disajikan dalam modul ini juga menunggangi bahasa
nan sederhana dan mudah dimengerti sehingga pengguna modul ini dapat dengan
mudah dalam membacanya.
Pada kesempatan ini penyalin mengucapkan sambut kasih terutama kepada
nan terhormat :
1. Kepala UPT SMA Negeri 4 Bangkalan Dra. Anisa Warda, MM.
2. Semua pihak nan telah mendukung kecepatan penulisan modul ini
Modul Ilmu hitung ini jauh terbit prolog contoh dan masih banyak kekurangan
yang kami rasakan, untuk itu kami adv amat mengharapkan adanya kritik dan saran nan
sifatnya membangun demi kesempurnaan modul ini.

Bangkalan, Desember 2022
Penulis

ii

DAFTAR ISI
Halaman Kepala karangan …………………………………………………………………………………..Hal i
Kata Pengantar ……………………………………………………………………… …………Hal ii
Daftar Isi……………………………………………………………………………………………Hal iii
Kurikulum 2022( Capuk dan KD) ……………………………………………………………………..Situasi iv-v
MODUL II : Lingkaran

A. Definisi Lingkaran…………………………………………………………………………….Hal 1
B. Persamaan Guri …………………………………………………………….…………Situasi 2
C. Tulangtulangan Umum Persamaan Landasan…………………………………………………..Hal 4
D. Evaluasi 1…………………………………………………………………………………………Situasi 5
E. Posisi Bintik Terhadap Kalangan………………………………………………… ……….Hal 6
F. Jarak Titik Plong Pematang………………………………………………………………….Hal 7
G. Kedudukan Garis Terhadap Halangan………………………………………………….Peristiwa 8
H. Persamaan Garis Singgung Lingkaran………………………………………………….Situasi 9
I. Kedudukan Dua Lingkaran………………………………………………………………….Situasi 11
J. Persamaan Garis ( Tali Busur ) Dari Dua Lingkaran Yang Berpotongan……Kejadian 13
K. Evaluasi 2…………………………………………………………………………………………Situasi 15

iii

Matematika Peminatan

Runcitruncit Pendidikan : SMA Area 4 Bangkalan
Kelas / Semester : XI (Sebelas)/ 2 (genap)

A. Kompetensi Inti : :

Burik-1 dan Ki-2:Menghayati dan mengerjakan wangsit agama yang dianutnya. Menghayati
dan mengamalkan perilaku jujur, disiplin, santun, peduli (gotong royong, kerjasama, toleran,
damai), bertanggung jawab, responsif, dan pro-aktif dalam berinteraksi secara efektif sesuai
dengan perkembangan anak asuh di lingkungan, keluarga, sekolah, umum dan mileu alam
sekitar, bangsa, negara, area regional, dan kawasan internasional”.

Ki-3: Memahami, menerapkan, dan menganalisis wara-wara berupa, konseptual, prosedural,
dan metakognitif berdasarkan rasa ingin tahunya tentang aji-aji proklamasi, teknologi, seni,
budaya, dan humaniora dengan wawasan manusiawi, nasional, kenegaraan, dan peradaban
terkait penyebab fenomena dan kejadian, serta menerapkan pengetahuan prosedural sreg bidang
kajian nan spesifik sesuai dengan bakat dan minatnya bikin menguasai masalah

Ki-4: Mengolah, menalar, dan menyaji dalam antap berwujud dan ranah abstrak tercalit dengan
pengembangan dari nan dipelajarinya di sekolah secara mandiri, main-main secara efektif dan
berbenda, serta mampu menggunakan metode sesuai kaidah keilmua

B. KOMPETENSI Bawah DAN INDIKATOR

KOMPETENSI Bawah Penunjuk

3.3. Menganalisis lingkaran secara analitik  Memahami konsep halangan

 Memformulasikan persamaan limbung
berpusat di (0,0) dan (a,b).

 Menentukan pusat dan jari-jari lingkaran
yang persamaannya diketahui.

 Menentukan persamaan gudi nan
menunaikan janji kriteria tertentu.

 Menentukan posisi dan jarak satu bintik
terhadap dok

4.3. Memecahkan masalah nan terkait  Melukis garis yang menyinggung halangan
Dengan landasan dan menentukan sifat-sifatnya

 Menyusun persamaan garis sentuh
yang melampaui suatu noktah lega halangan.

 Menentukan persamaan garis sentuh
yang melangkaui titik di luar landasan.

 Merumuskan persamaan garis sentuh
yang gradiennya diketahui

iv

C. Materi Penerimaan
 Materi Pokok : Kemiripan Lingkaran
 Sub – Sub materi : – Definisi Halangan
– Pertepatan Lingkaran
– Rang umum Persamaaan lingkaran
– Posisi titik pada dok
– Jarak titik sreg Halangan
– Kedudukan garis terhadap Pematang
– Persamaan garis Singgung Guri
– Kedudukan dua lingkaran

D. Tujuan Pembelajaran
Setelah mempelajari modul ini siswa diharapakn dapat:
 Menganalisis kaitan antara kalangan dan garis singgung
 Menuntaskan ki aib yang berkaitan dengan galengan

E. Penilaian
 Hasil tes evaluasi
 Psikomotor
 Afektif

Peta KONSEP

Lingkaran

Paralelisme Garis Takhta
Lingkaran singgung Dua
Kalangan Lingkaran

Persamaan Keduduka Persamaan Persamaan
lingkaran titik, garis garis sentuh garis singgung
dengan terhadap yang melallui dengan
sosi(0,0) galengan bintik gradient
dan (a,b) tertentu

v

MODUL 2

LINGKARAN

PENDAHULUAN
Lebih dari sewu periode yang lampau, para ahli ilmu hitung Bangsa Yunani biasa
memandang garis singgung sebuah kalangan sebagai sebuah garis yang
menyentuh guri namun di satu titik. Descartes bahkan mempunyai
argument bahwa pasti ada dua noktah potong ketika sebuah garis memotong
lingkaran. Jika saja cak semau satu titik tetak, maka garis itu pastilah garis
singgung lingkaran. Mereka hanya menenmpatkan halangan sebagai
bangun yang stagnan.

Berlawanan dengan ide-ide tersebut, Issac Newton, basyar Inggris nan menemukan
Hukum Global Gaya berat, mempunyai pendapat yang berbeda mengenai garis singgung. Ia
memandang garis senggol puas sebuah bintik sebagai limit posisi dari sebuah garis yang menerobos
bintik itu dan titik enggak yang bergerak semakin erat ke titik tadi. Dengan demikian, lingkaran
menurut Newton merupakan pelintasan lengkung terkatup tersisa yang membolehkan persuasi
dan oleh karena itu lingkaran disebut bangun nan dinamis.

A. DEFINISI LINGKARAN

Y Lingkaran merupakan wadah kedudukan tutul-
bintik yang berjarak sama ( ganggang linkaran )
A (x1 , y1) B(x2 , y2) terhadap sebuah titik tertentu ( buku

r lingkaran ) yang digambarkan lega latar
kartesius.
r P (a ,b) = Pusat Lingkaran
P(a,b) r = celah lingkaran

r

r = AP = BP = CP

C (x3 , y3)

OX
Internal menentukan pertepatan lingkaran, kita harus mengerti tentang formula jarak. Berikut ini
diberikan beberapa formula kerjakan menentukan jarak.
1. Jarak antara dua titik A(x1 , y1) dan B(x2 , y2), ditentukan oleh j = (x2  x1 )2  ( y2  y1 )2

2. Jarak titik A(x1 , y1) terhadap garis lurus ax + by + c = 0 dirumuskan j  ax1  by1  c
a2  b2

Rumus rumus lingkaran yang sering digunakan

a. Luas Galangan : L = = b. Keliling Pematang : K = =

Kejadian 1

B. PERSAMAAN Galengan
1. Persamaan Galangan yang Berpusat di Udara murni ( 0,0 ) dan Berjari-ujung tangan r

Y A ( x, y ) Berlandaskan definisi lingkaran, maka akan
r diperoleh persamaan landasan yang berjari–
jari r dan berpusat di titik pangkal O(0,0).
y Tutul A(x,y) pada Dok. Ganggang
lingkaran r = OA .
Ox X Dengan mengingat kembali rumus jarak
antara dua tutul, maka akan diperoleh rumus
pertepatan lingkaran:

OA = (x  0)2  ( y  0)2

r = x2  y2
Kaprikornus diperoleh bentuk umum persamaan
lingkaran dengan pusat Ozon(0,0) dan berjari-
jari r adalah :

x2  y2  r2

Contoh 1
Tentukan kemiripan dok nan :

a. berpusat di Udara murni(0, 0) dan r = 3
b. berpusat di O(0, 0) dan melalui titik A(3, 4)
c. berpusat di Udara murni(0, 0) dan meyinggung garis 12x – 5y – 39 = 0
Jawab :
a. Kunci di Udara murni(0, 0) dan r = 3

x2 + y2 = r2  x2 + y2 = 32

x2 + y2 = 9 atau x2 + y2 – 9 = 0
b. Pusat di O(0, 0) dan melalui titik A(3, 4)

Karena melangkahi noktah A(3, 4) maka nilai r2 ditentukan berbunga x2 + y2 = r2 diperoleh nilai

r2 = 32 + 42  r2 = 25. Jadi persamaan lingkarannya ialah x2 + y2 = 25.

c. Resep di O(0, 0) dan meyinggung garis 12x – 5y – 39 = 0

Y Karena menyinggung garis 12x – 5y – 39=0
12x – 5y – 39 = 0 maka r merupakan jarak titik daya O(0, 0)
dengan garis 12x – 5y – 39 = 0. Dengan
r X menggunakan rumus jarak titik terhadap
Udara murni garis diperoleh jar-jari :
r = ax1  by1  c

a2  b2

r = 12.0  (5).0  (39)  r = 3
122  (5)2

Kaprikornus pertepatan lingkarannya yaitu x2 + y2 = 9

Keadaan 2

2.Kemiripan Guri yang Berpusat di P ( a, b ) dan Berjari-ujung tangan r

Y A(x,y) Titik A(x, y) pada lingkaran yang berpusat di P(a,b)

dan jemari-jari guri r, sehingga PA = r. Dengan

menggunakan rumus jarak antara dua noktah, maka
r akan diperoleh rumus paralelisme lingkaran:

P(a, b) (x2  x1 )2  ( y2  y1 )2  r
(x  a)2  ( y  b)2  r

(x  a)2  ( y  b)2  r 2

Yaitu persamaan baku lingkaran dengan pokok
X P(a, b) dan ujung tangan-ujung tangan r.
O

Contoh 2
Tentukan persamaan lingkaran yang :

a. berpusat di P(4, 3) dan r = 6
b. berfokus di P(5, -1) dan melalui A(-1, 7)
c. berpusat di P(2, 3) dan menyinggung 2x + 3y + 4 = 0
Jawab :
a. berpusat di P(4, 3) dan r = 6 maka diperoleh a = 4 dan b = 3

Paralelisme Lingkaran : (x  a)2  ( y  b)2  r 2

(x – 4)2 + (y – 3)2 = 62
(x – 4)2 + (y – 3)2 = 36

b. berpusat di P(5, -1) dan melampaui A(-1, 7), maka r = tataran PA = PA . Dengan

menggunakan jarak dua titik diperoleh r = (1  5)2  (7  (1))2 = 10

Persamaan Lingkaran : (x  a)2  ( y  b)2  r 2

(x – 5)2 + (y + 1)2 = 102
(x – 5)2 + (y + 1)2 = 100
c. berfokus di P(2, 3) dan menyinggung 2x + 3y + 4 = 0
Jemari-jari lingkaran yakni jarak P(2, 3) dengan garis 2x + 3y + 4 = 0, diperoleh :

r = ax1  by1  c = 2.2  3.3  4 = 17
a2  b2 22  32 13

Kemiripan lingkaran: (x  a)2  ( y  b)2  r 2

(x – 2)2 + (y – 3)2 = 2

17

13

(x – 2)2 + (y – 3)2 = 289
13

13(x – 2)2 + 13(y – 3)2 = 289

Situasi 3

C. BENTUK UMUM Kemiripan LINGKARAN

Pertepatan lingkaran dengan pusat P(a, b) dan berjari-deriji r punya persamaan seremonial

(x  a)2  ( y  b)2  r 2 , jika bentuk ini dijabarkan maka diperoleh :
 x2 – 2ax + a2 + y2 – 2by + b2 = r2

 x2 + y2 – 2ax – 2by + a2 + b2 – r2 = 0, misalkan A = – 2a, B = – 2b dan C = a2 + b2 – r2

maka diperoleh

bentuk awam persamaan lingkaran : x2  y2  Ax  By  C  0

Dengan Pusat P  A , B  dan jar-jari r    A 2    B 2  C
 2 2  2  2

Contoh 1
Tentukan pusat dan jari-jari lingkaran x2 + y2 – 6x + 8y – 24 = 0 !
Jawab :
a. Lingkaran : x2 + y2 – 6x + 8y – 24 = 0 diperoleh A = – 6, B = 8 dan C = – 24

Pusat:   A , B  = (3, – 4)
 2 2

Jari – deriji =   A 2    B 2  C
 2  2

r = 32  (4)2  (24) = 7

Komplet 2
Kalangan x2 + y2 + 4x + by – 12 = 0 menerobos titik (1, 7), tentukan pusat galengan tersebut !
Jawab :
Subtitusi (1, 7) ke lingkaran x2 + y2 + 4x + by – 12 = 0 diperoleh :
12 + 72 + 4.1 + b.7 – 12 = 0

7b = – 42  b = – 6
Pusat :   A , B  = (– 2, 3)

 2 2

Latihan 1

Jawablah dengan singkat, jelas dan ter-hormat !

1. Tentukan persamaan lingkaran yang berfokus di O(0,0) dan mempunyai

a. r = 2 3 b. r = 13

2. Tentukan persamaan lingkaran yang berpusat di Udara murni(0,0) dan melalui bintik :
a. ( – 3, 0 ) b. ( – 2, 3 )
3. Tentukan persamaan halangan yang berpusat di O(0,0) dan menyinggung garis :
a. x + 1 = 0 b.y=-6

4. Tentukan kemiripan lingkaran nan berpusat di P( 2, – 3 ) dan n kepunyaan jari jari 10

5. Tentukan persamaan landasan yang berpusat di P( – 3, 1 ) dan menyinggung :
a. murang x b. x = 1
6. Tentukan persamaan kalangan yang berpusat di P( – 1, 4 ) dan melewati titik :

a. ( – 7, 4 ) b. ( 3, 2 )

Hal 4

7. Tentukan persamaan galangan yang berdiameter garis AB dengan noktah A ( -2,3 ) danB ( 6, 3)

8. Tentukan persamaan lingkaran yang berpusat di Udara murni(0,0) dan menyinggung garis
3x + 4y + 10 = 0
9. Tentukan persamaan lingkaran yang berpusat di P(1, -2) dan menyinggung garis
2x + y – 20 = 0
10. Tentukan ki akal dan jari – jari lingkaran berikut :
a. 2×2 + 2y2 = 3 b. (x – 2)2 + (y + 5)2 = 12 c. x 2 + y 2 + 4x – 2y + 1 = 0
11. Halangan x 2 + y 2 – 4x + 2y + c = 0 melintasi titik (0, -1). Tentukan deriji-jarinya
12. Lingkaran x 2 + y 2 – 4x + 6y + m = 0 berjari-jari 5. Tentukan nilai m
13. Tentukan persamaan lingkaran nan titik pusatnya terletak plong garis x= 2dan menyinggung
upet Y di tutul (0, 3)
14. Tentukan pertepatan limbung yang konsentris (sepusat) dengan lingkaran
x2 + y2 – 4x + 12y – 2 = 0 dan melalui titik A(– 1, 5) !

15. Tentukan pertepatan lingkaran yang pusatnya terwalak pada garis – 2x + y + 1 = 0, berjari-
jari 5 dan menyinggung sumbu X
16. Halangan x 2 + y 2 + 2px + 6y + 4 = 0 mempunyai ujung tangan-jari 3 dan menyinggung sumbu X.
Tentukan sendi Lingkaran !
17. Pematang x 2 + y 2 + 6x + 6y + c = 0 menyinggung garis x = 2, tentukan nilai c !
18. Noktah (a, b) yaitu pusat lingkaran x2 + y2 – 2x + 4y + 1 = 0, tent. Poin 2a + b !

Evaluasi 1
I. Pilih jawaban yang bermartabat soal cak bertanya berikut:

1. Persamaan lingkaran nan berpusat di Udara murni dan melalui titik (3, 2) merupakan ….
a. x2 + y2 = 2 c. x2 + y2 = 7 e. x2 + y2 = 13

b. x2 + y2 = 3 d. x2 + y2 = 11

2. Kemiripan lingkaran dengan pusat (2, -3) dan jemari-jari 4 adalah ….
a. x2 + y2 – 4x + 6x + 3 = 0
b. x2 + y2 – 4x + 6x – 3 = 0
c. x2 + y2 – 4x + 6x + 25 = 0
d. x2 + y2 – 4x + 6x – 25 = 0
e. x2 + y2 – 4x + 6x + 16 = 0

3. Pertepatan lingkaran yang berpusat di (2, 8) dan menyinggung garis x – 7 = 0 yakni …
a. x2 + y2 – 4x – 16y – 25 = 0
b. x2 + y2 + 4x – 16y – 25 = 0
c. x2 + y2 – 4x – 16y + 43 = 0
d. x2 + y2 + 4x – 16y – 43 = 0
e. x2 + y2 – 4x + 16y + 43 = 0

4. Ruji-ruji lingkaran dengan persamaan 2×2 + 2y2 = 36 yaitu ….

a. 3 2 b. 6 c. 6 2 d. 18 e. 36

5. Persamaan galangan berpusat di (2, 3) yang melalui (5, -1) ialah …
a. x2 + y2 – 4x – 6y – 12 = 0
b. x2 + y2 – 4x – 6y – 25 = 0
c. x2 + y2 – 4x – 6y – 13 = 0
d. x2 + y2 – 2x – 3y – 10 = 0
e. x2 + y2 + 2x + 2y + 25 = 0

6. Lingkaran x2 + y2 + 4x + 6y – (8 + b) = 0 memiliki celah 5, maka kredit b adalah …
a. 1 b. 2 c. 3 d. 4 e. 5
Hal 5

7. Lingkaran (x – a)2 + (y – b)2 = 81 akan menyinggung upet X jika …

a. a = 81 c. a = 9 e. a = 9 atau a = -9
b. b = 81 d. b = 9 atau b = -9

8. Kunci lingkaran 3×2 + 3y2 – 4x + 6y – 12 = 0 merupakan …

a. (2, 1) b. ( 2,-3) c. (-2,3 ) d.  2 ,1 e.  1 ,5
3  3 

9. Kemiripan lingkaran yang melewati noktah A(4, 3) dan B(-2, 5) serta gerendel halangan pada garis
3x + 2y – 11 = 0 adalah ….
a. x2 + y2 – 2x – 8y + 11 = 0
b. x2 + y2 – 2x – 8y + 7 = 0
c. x2 + y2 + 2x + 8x – 11 = 0
d. x2 + y2 + 2x – 8y + 7 = 0
e. x2 + y2 + 2x + 8y + 11 = 0

10. Hendaknya lingkaran x2 + y2 – 6x + 8y – p = 0 menyinggung garis 3x – 4y = 0, maka kredit p adalah
a. 0 b. 9 c. 11 d. 18 e. 25

II. Jawablah cak bertanya pertanyaan berikut !

1. Tentukan persamaan lingkaran yang berpusat di P( 0, – 4 ) dan mempunyai r = 3 – 2

2. Tentukan persamaan lingkaran nan berpusat di P(1, -2) dan menyinggung garis
6x – 8y = 10

3. Tentukan persamaan galengan nan pusatnya terwalak pada garis x – y – 1 = 0, melampaui

bintik radiks Udara murni (0, 0) dan berjari-jari 5

4. Tentukan buku dan jari – jari galangan berikut

a. 3(x + 4)2 + 3(y – 1)2 = 27 b. 2x 2 + 2y 2 – 4x + 3y = 0
5. Tunjukkan bahwa garis 3x + 4y = 0 meyinggung lingkaran yang berjar-deriji 3 dan berfokus
dititik (5, 0)

D. POSISI / Kedudukan TITIK TERHADAP LINGKARAN
Ada tiga prospek posisi suatu titik terhadap halangan:

1. Bintik terletak pada lingkaran, jika titik tersebut disubtitusikan ke pertepatan landasan
didapat:
a. x2  y 2  r 2 atau
b. (x  a)2  ( y  b)2  r 2 atau
c. x2  y2  Ax  By  C  0

Hal 6

2. Titik terletak di internal lingkaran, takdirnya tutul tersebut disubtitusikan ke kemiripan lingkaran
didapat:
a. x2  y 2  r 2 maupun
b. (x  a)2  ( y  b)2  r 2 atau
c. x2  y2  Ax  By  C  0

3. Noktah terletak di luar lingkaran, jika titik tersebut disubtitusikan ke persamaan guri
didapat:
a. x2  y 2  r 2 atau
b. (x  a)2  ( y  b)2  r 2 atau
c. x2  y2  Ax  By  C  0
ataupun Kedudukan bintik terhadap lingkaran bisa ditentukan menggunakan nilai kuasa.
Kuasa (K) yakni persamaan landasan yang telah disubstitusi oleh koordinat noktah yang diuji.
K = x12 + y12 + Ax1 + By1 + C

1) Jika K < 0, maka noktah berada di dalam lingkaran.
2) Takdirnya K = 0, maka titik berada pada lingkaran (memenuhi persamaan lingkaran).
3) Jika K > 0, maka titik berada di asing dok.

Teladan
Tanpa menggambar pada meres kartesius tentukan posisi titik A(1, 2) terhadap limbung :

a. x2 + y2 = 9
b. (x – 2)2 + (y + 1)2 = 10
c. x2 + y2 + 6x – 2y + 3 = 0

Jawab :

a. Bintik A(1, 2) dan L  x2 + y2 = 9
Subtitusi A(1, 2) ke L  x2 + y2 = 9 diperoleh 12 + 22 = 5 < 9. Kaprikornus A(1, 2) terletak di
internal L  x2 + y2 = 9.

b. Noktah A(1, 2) dan L  (x – 2)2 + (y + 1)2 = 10
Subtitusi A(1, 2) ke L  (x – 2)2 + (y + 1)2 = 10 diperoleh (1 – 2)2 + (2 + 1)2 = 10 = 10.
Kaprikornus titik A(1, 2) terletak puas L  (x – 2)2 + (y + 1)2 = 10.

c. Noktah A(1, 2) dan L  x2 + y2 + 6x – 2y + 3 = 0
Subtitusi A(1, 2) ke L  x2 + y2 + 6x – 2y + 3 = 0 diperoleh 12 + 22 + 6.1 – 2.2 + 3 = 10
> 0. Jadi titik A(1, 2) terletak di luar L  x2 + y2 + 6x – 2y + 3 = 0.

E. JARAK TITIK PADA Galengan

1.Tutul di luar galangan Jarak terdekat titik A dengan lingkaran = AB
C AB = AP – PB = AP – r

 A Jarak terjauh noktah A dengan Lingkaran = AC
AC = ( AP)2  (PC)2  ( AP)2  r 2
P B
dengan r = jeruji lingkaran.

Hal 7

2.Titik di n domestik lingkaran Jarak terdekat bintik A dengan halangan = AB
AB = PB – AP = r – AP
P B
A Jarak terjauh noktah A dengan Lingkaran = AC
AC = CP + AP = r + AP
C
dengan r = celah pematang.

Cermin

Diberikan titik A(6, 8) dan L  x2 + y2 = 49. Hitunglah jarak terdekat bintik A ke lingkaran L !

Jawab :
Mula-mula kita harus memafhumi posisi noktah A terhadap lingkaran L dengan cara mensubtitusi titik

A(6, 8) ke L  x2 + y2 = 49, diperoleh :

A(6, 8)  x2 + y2 = 49  62 + 82 = 100 > 49 jadi titik A berada diluar halangan.
Jarak terdekat = AP – r = (6  0)2  (8  0)2 – 7 = 3

Jadi jarak terpendek titik A ke lingkaran L adalah 3 ketengan panjang.

F.KEDUDUKAN GARIS TERHADAP LINGKARAN
Secara geometri ada tiga kedudukan garis terhadap galangan, yaitu

 

(i) Garis memotong Ldi dua tutul (ii) Garis menyinggung L (iii) Garis tidak
Syarat : D > 0 Syarat : D = 0 Syarat : D < 0
Dengan D = Diskriminan = b2 – 4a

Hipotetis

Tentukan posisi garis y = 3x + 2 terhadap L  x2 + y2 + 4x – y + 1 = 0

Jawab :

Subtitusi garis y = 3x + 2 ke L  x2 + y2 + 4x – y + 1 = 0, diperoleh:
 x2 + (3x + 2)2 + 4x – (3x + 2) + 1 = 0

 10×2 + 13x + 3 = 0 sehingga nila a = 10, b = 13 dan c = 3

Nilai D = b2 – 4ac = 169 – 4.10.3 = 49 > 0
Karena diperoleh D > 0 maka garis y = 3x + 2 memotong ligkaran L di dua titik yang berlainan.

G .PERSAMAAN GARIS SINGGUNG LINGKARAN
1. Pers. Garis singgung lingkaran Melalui Titik pada Lingkaran
g
Garis g disebut garis singgung Limbung L di bintik A(x1, y1).
Goresan :
A(x1, y1) 1. Titik A harus pada landasan L.
2. AP tegak lurus dengan garis singgung g.

P(a, b)

Keadaan 8

Rumus Persamaan Garis Singgung Lingkaran di titik A(x1 , y1) :

Pers. Landasan Pers. Garis Singgung

x2 + y2 = r2 x1x + y1y = r2
(x – a)2 + (y – b)2 = r2 (x1 – a)(x – a) + (y1 – b)(y – b) = r2
x2 + y2 + Ax + By + C = 0 x1x + y1y + A (x + x1) + B (y + y1) + C = 0

22

Contoh
Tentukan persamaan garis senggol guri :

a. L  x2 + y2 = 5 di tutul A(1, -2)
b. L  (x + 3)2 + (y – 2)2 = 58 di titik B(0, 9)
c. L  x2 + y2 + 4x + 8y – 21 = 0 di titik C(2, 1)

Jawab :

a. PGS L  x2 + y2 = 5 di bintik A(1, -2) berarti x1 = 1, y1 = – 2 dan r2 = 5
PGS  x1x + y1y = r2  x – 2y = 5 atau x – 2y – 5 = 0. Jadi persamaan garis singgungnya

yaitu x – 2y – 5 = 0.

b. PGS L  (x + 3)2 + (y – 2)2 = 58 di bintik B(0, 9) berarti x1 = 0, y1 = 9, a = – 3, b = 2, r2 =

58

PGS  (x1 – a)(x – a) + (y1 – b)(y – b) = r2
 (0 + 3)(x + 3) + (9 – 2)(y – 2) = 58
 3x + 7y – 63 = 0

Jadi paralelisme garis singgungnya yaitu 3x + 7y – 63 = 0.

c. PGS L  x2 + y2 + 4x + 8y – 21 = 0 di titik C(2, 1) bermanfaat x1 = 2, y1 = 1, A = 4, B = 8,

C = – 21.

PGS  x1x + y1y + A (x + x1) + B (y + y1) + C = 0
22

 2x + 1.y + 2(x + 2) + 4(y + 1) – 21 = 0
 4x + 5y – 13 = 0

Bintang sartan paralelisme garis singgungnya ialah 4x + 5y – 13 = 0.

2. Pers. Garis singgung lingkaran Melalui suatu Bintik di luar Landasan

Q A(x1 , y1) Anju-awalan menentukan PGS dari titik di
luar lingkaran :
  1. Menentukan persamaan garis musuh ( rumus

P yang digunakan seperti rumus mencari
R PGS lingk. diatas)
2. Menentukan titik singgung lingkaran (tutul Q
dan R) dengan mensubtitusikan pers. Garis
kutub ke pers. Lingkaran.
3. Menentukan persamaan garis sentuh di titik
singgung tersebut

Garis hubung QR disebut Garis pasangan atau garis polar. Kejadian 9
Garis sambung AQ dan AR disebut garis sentuh lingkaran.

Contoh
Tentukan PGS pada x2 + y2 = 9 yang boleh ditarik berpangkal titik A(0, 4) !
Jawab :

(i) Menentukan paralelisme garis musuh/polar semenjak noktah A(0, 4), berjasa x1 = 0, y1 = 4, r2 = 9

Paralelisme Garis n partner  x1x + y1y = r2  0.x + 4y = 9  y = 9
4

(ii) Menentukan titik singgung lingkaran dengan cara mensubtitusi pers. Garis polar ke
persamaan. Lingkaran.

Y = 9  x2 + y2 = 9
4

x2 +  9 2 = 9
4

x2 = 144  81 = 63
16 16

x1 = 3 7 alias x2 =  3 7
44

Bintang sartan bintik singgungnya  3 7 , 9  dan   37 , 9 
4 4 4 4

(iii).Menentukan pertepatan garis singgung L x2 + y2 = 9 di titik  3 7 , 9  dan   37 , 9 
4 4 4 4

Garis senggol di titik  3 7 , 9   x1x + y1y = r2
4 4

 3 7x+ 9y=9 7 x + 3y – 12 = 0
44

 3 7 x + 9y = 36 

Garis singgung di tutul   37 , 9   x1x + y1y = r2
4 4

 – 3 7 x + 9y = 36  7 x – 3y + 12 = 0
Jadi persamaan garis singgung L  x2 + y2 = 9 yang ditarik mulai sejak bintik A(0, 4) adalah

7 x + 3y – 12 = 0 dan 7 x – 3y + 12 = 0.

3. Pers. Garis singgung lingkaran dengan Gradien tertentu

PGS dengan Pers. Lingkaran Pers. Garis Senggol
gradien m

 x2 + y2 = R2 y  mx  r 1 m2
(x – a)2 + (y – b)2 = R2 y  b  m(x  a)  r 1 m2
P(a, b)

x2 + y2 + Ax + By + C = 0 y  b  m(x  a)  r 1 m2

Abstrak
Tentukan paralelisme garis sentuh lingkaran :

a. L  x2 + y2 = 9 dengan gradien 2
b. L  (x + 2)2 + (y – 1)2 = 4 yang setimbang dengan garis 3x + 4y – 1 = 0

Peristiwa 10

c. L  x2 + y2 – 2x + 6y + 5 = 0 yang tegak harfiah garis x + 2y = 5

Jawab: 5 dan y = 2x – 3 5

a .L  x2 + y2 = 9 dengan gradien 2 berharga m = 2, r = 3
PGS  y  mx  r 1 m2  y = 2x  3 1  22
y = 2x  3 5

Jadi persamaan garis singgungnya yakni y = 2x + 3

b. L  (x + 2)2 + (y – 1)2 = 4 yang sejajar dengan garis 3x + 4y – 1 = 0, berjasa a = – 2,
b = 1, dan r = 2. Gradien garis 3x + 4y – 1 = 0 adalah m1 =  4 .
3

Syarat dua garis sejajar m1 = m2. Bintang sartan m2 =  4 .
3

PGS  y  b  m(x  a)  r 1 m2  y – 1 =  4 (x + 2)  2 1 16
39

y – 1 =  4 (x + 2)  2 25
39

y – 1 =  4 (x + 2)  10
33

3y – 3 = – 4x – 8  10

4x + 3y = 3 – 8 + 10 atau 4x + 3y = 3 – 8 – 10
4x + 3y = 5 atau 4x + 3y = – 15
Jadi paralelisme garis singgungnya merupakan 4x + 3y – 5 = 0 atau 4x + 3y + 15 = 0.

c. L  x2 + y2 – 2x + 6y + 5 = 0 yang menggermang verbatim garis x + 2y = 5

Dari L  x2 + y2 – 2x + 6y + 5 = 0 diperoleh A = – 2, B = 6 dan C = 5
Pusat lingkaran = (1, -3) dan r = 1 9  5 = 5
Dari x + 2y = 5 diperoleh m1 =  1 , karena seram verbatim maka m1.m2 = – 1, diperoleh m2 = 2

2

PGS  y  b  m(x  a)  r 1 m2

y + 3 = 2(x – 1)  5 1  22
y + 3 = 2x – 2  5
2x – y – 5  5 = 0

Jadi kemiripan garis singgungnya adalah 2x – y = 0 atau 2x – y – 10 = 0

H. Singgasana Dua Limbung
1. Dua Lingkaran L1 dan L2 dengan bintik buku P1 dan P2 padahal jari- jari r1 dan r2

Kedudukan kalangan L1 terhadap L2 ditentukan maka itu poin diskriminan D = b2 – 4ac,
hasil dari substitusi kedua persamaan kalangan tersebut dengan ketentuan :

Hal 11

a. Jika D = 0 kedua lingkaran bersinggungan di suatu titik

b. Jika D < 0 kedua lingkaran ganti lepas

3. Jika D > 0 kedua lingkaran bersilang di dua noktah
Dalam peristiwa ini : r1 + r2 > P1 P2

hipotetis
1. kedudukan galengan x2 + y2 – 8x + 6y + 1 = 0 terhadap pematang

x2 + y2 + 4x + 2y – 7 = 0 adalah berpotongan di dua titik,
karena:
x2 + y2 – 8x + 6y + 1 = 0
x2 + y2+ 4x + 2y – 7 = 0 –

-12 x + 4y +8 = 0 Maka y = 3x -2
Sehingga x2 + ( 3x – 2)2 – 8x + 6( 3x-2) +1 =0

x2 + 9×2 – 12x + 4 -8x +18x -12 +1 = 0
10×2 – 2x -7 = 0

Ambil D = (-2)2 – 4 (10)(-7) = 287 > 0
Karena D >0 , Maka kedua lingkaran berpotongan di dua titik

Hal 12

2. Bagaimanakah singgasana pematang x2 + y2 + 4x + 2y – 15 = 0 dan gudi
x2 + y2 – 8x – 4y + 15 = 0

Jawab
x2 + y2 + 4x + 2y – 15 = 0
x2 + y2 – 8x – 4y + 15 = 0 –
12x + 6y -30 = 0 Maka y = 5 -2x

Sehingga x2 +( 5 -2x )2 + 4x + 2( 5 -2x ) -15 = 0
x2 + 25 – 20x + 4×2 + 4x + 10 – 4x – 15 = 0
5×2 – 20x + 20 = 0
x – 4x + 4 = 0

Rebut D = (-4)2 – 4 ( 1) (4) = 0 Karena D= 0 Maka kedua kalangan bersinggungan
Koordinat daya dan deriji deriji lingkaran x2 + y2 + 4x + 2y – 15 = 0

Pusat P   A , B  Jari – ujung tangan r1 = A2  B 2  C

 2 2 44

P   4 , 2  r1 = 42  22  (15)

 2 2 44

P ( -2 , -1 ) r1 = 4 115 = 2√5

Koordinat pusat dan jari- jari galengan x2 + y2 – 8x – 4y + 15 = 0

Pusat P   A , B  Jari – jari r2 = A2  B 2  C

 2 2 44

P    8 ,  4  r2 =  82   42  (15)
r2 = 44
 2 2
16  4 15 = √5
P(4,2)

Jadi kedua pusat mlingkaran adalah P1 P2 = 4  (2)2  2  (1)2

P1 P2 = 62  32 = 45 = 3√5
Karena r1 + r2 = 2√5 + √5 = 3√5 = P1 P2 = 3√5 , Maka kedua lingkaran bersinggungan
diluar

I. Paralelisme Garis ( Makao Busar ) Dari Dua Lingkaran Yang Berpotongan

A P2 L1 lingkaran dengan pusat P1 dan
r1 deriji-jari r1 ( AP1) alias BP1
P1 M
c1 L2 lingkaran dengan sendi P2 dan
jari-jari r2 ( AP2) atau BP2
B
AB = tali busur dari dua gudi

Persamaan garis ( lawai busur) L1 dan L2 adalah:
L1 – L2 = 0

P1 M ( c1) dan P2 M ( c2 ) merupakan jarak yang tegak lurus terhadap tali ibu panah
Panjang Garis AB ( sutra busur ) : 2AM = 2 r12  c12 = 2 r22  c22

Kejadian 13

Kamil:
1. Tentukan Paralelisme tali busur sekutu dari limbung x² + y² = 25 dan lingkaran

x² + y² – 4x + 6y – 3 = 0
Jawab :
Persamaan dua buah lingkaran ialah
x² + y² = 25
x² + y² – 4x + 6y – 3 = 0
Substitusikan persamaan guri (1) ke persamaan gudi (2)
x² + y² = 25
x² + y² – 4x + 6y – 3 = 0
25 – 4x + 6y – 3 = 0
-4x + 6y + 22 = 0 ……. kedua ruas dibagi (–2)
2x – 3y – 11 = 0
Jadi persamaan tali gandi perkongsian dua persamaan lingkaran tersebut adalah 2x – 3y – 11=0

Les 2
Jawablah dengan sumir, jelas dan ter-hormat
1. Tentuan posisi titik berikut terhadap lingkaran nan berpusat di O(0 , 0) dan berjari-jari 8 !

a. (2,1) b. (4, -4 3 ) c. (-5,7) d. (0 , 8)

2. Tentuan posisi tutul berikut terhadap landasan (x 1)2  ( y  2)2  16 !
a. (-3,-3) b. (-5,2) c. (3,1) d. (1,-2)

3. Tentuan posisi titik berikut terhadap galengan x2  y2  4x  8y  5  0
a. (-2,9) b. (8,1) c. (-2,-1) d. (1,2)

4. Tentukan nilai p seandainya tutul (-5, p) terdapat pada limbung x 2 + y 2 + 2x – 5y – 21 = 0 !

5. Tentukan nilai a jika bintik (3, 4) terdapat pada lingkaran x 2 + y 2 + ax + 6y – 37 = 0 !

6. Berapakah jarak antara titik dengan lingkaran berikut :

a. (7, 4) dan x 2 + y 2 + 6x – 8y = 0 c. (3 , 5) dan x 2 + y 2 + 3x – 7y – 18 = 0
b. (-2 , 6) dan x 2 + y 2 = 16

7. Tentukan jarak terjauh bintik P(3, 2) ke L  (x – 2)2 + (y – 1)2 = 32 !

8. Tentukan strata garis singgung dari noktah P(5, -2) ke L  x2 + y2 – 2x – 8y – 10 = 0 !

9. Diketahui titik N(4, 6) dan L  (x + 3)2 + (y + 2)2 = 32.

a. Tentukan posisi noktah N terhadap lingkaran L
b. Hitunglah jarak terpendek titik Falak ke lingkaran L
c. Hitunglah jarak terjauh titik T ke lingkaran L
d. Panjang garis sentuh titik Ufuk ke lingkaran L

10. Tahapan garis singgung nan ditarik dari noktah R(4, 5) terhadap kalangan L  x2 + y2 + 2kx = 0

sebanding dengan satu satuan jenjang. Hitunglah nilai k

11. Selidiki hubungan garis dan lingkaran berikut ini :
a. 2x + y – 4 = 0 dan x2 + y2 = 25
b. y = 2x dan x2 + y2 + 4x – y + 1 = 0

12. Tentukan PGS x2 + y2 = 20 dititik (2, 4) !

13. Tentukan PGS (x – 1)2 + (y – 5)2 = 9 dititik (1, 2) !

14. Tentukan PGS x2 + y2 + 6x – 4y – 45 = 0 dititik (4, -1) !

Hal 14

15. Tentukan PGS x2 + y2 + 4x – 9y – 10 = 0 di titik dengan absis – 4 !

16. Tentukan persamaan garis sentuh plong L  x2 + y2 = 16 yang :
a. bergradien 2

b. Agak gelap literal garis y = 2x – 4
c. Sejajar garis 2x – y – 4 = 0

Evaluasi

I Pilih satu jawaban yang tepat !
1. Jarak antara titik pusat dok x2 – 4x + y2 + 4 = 0 berbunga sumbu Y adalah ….
a. 3 b. 2,5 c. 2 d. 1,5 e. 1
2. Jarak terdekat antara noktah (-7, 2) ke galengan x2 + y2 – 10x – 14y – 151 = 0 adalah …
a. 2 b. 3 c. 4 d. 8 e. 13
3. Kalau titik (-5, k) terwalak pada lingkaran x2 + y2 +2x – 5y – 21 = 0, maka ponten k adalah …
a. -1 alias -2 c. 0 alias 3
b. 2 atau 4 d. 1 atau -6 e.-1 atau 6
4. Keseleo satu persamaan garis singgung berbunga titik (0, 2) sreg lingkaran x2 + y2 = 1 adalah

a. y = x 3 – 2 c. y = – x 3 – 2 e. y = – x 3 + 1

b.y = x 3 + 1 d. y = – x 3 + 2

5. Persamaan garis senggol lingkaran x2 + y2 – 20x + 16y + 139 =0 di noktah (6, -5) adalah ….
a. 4x + 3y + 39 = 0 c. 4x – 3y – 39 = 0 e. 3x + 4y – 39 = 0
b. 4x + 3y – 39 = 0 d. 4x – 3y + 39 = 0
6. Pertepatan garis singgung melelui titik (0, 5) lega pematang x2 + y2 = 20 adalah ….
a. 2x + y = 10 dan -2x + y = 10 d. 2x + y = -10 dan2x – y = 1
b. x + 2y = 10 dan x – 2y = -10 e. x + 2y = -10 dan x – 2y = – 1
c. x + 2y = 10 dan x – 2y = 10
7 Persamaan garis senggol di bintik (-3, 4) pada lingkaran x2 + y2 = 25 adalah …
a. 3y – 4x + 25 = 0 d. 4y + 3x – 25 = 0
b. 3y + 4x – 25 = 0 e. 4y – 3x – 25 = 0
c. 4y – 3x + 25 = 0
8. Persamaan garis singgung melalui (5, 1) sreg guri x2 + y2 – 4 x + 6y – 12 = 0 yaitu …
a. 3x + 4y – 19 = 0 d. 4x – 3y + 19 = 0
b. 3x – 4y – 19 = 0 e. x – 7y – 26 = 0
c. x + 7y – 26 = 0
9. Garis singgung landasan x2 + y2 = 13 dititik (2, 3) menyinggung halangan
(x – 7)2+(y – 4)2 = a. Biji a adalah …

a. 5 b. 13 c. 5 d. 12 e. 13

10. Salah satu persamaan garis singgung lega guri x2 + y2 – 2x + 4y – 4 = 0 nan sebanding
dengan garis 5x – 12y + 15 = 0 adalah
a. 5x – 12y + 10 = 0 c. 5x + 12y + 10 = 0
b. 5x – 12y – 10 = 0 d. 5x + 12y – 10 = 0 e. 5x – 12y + 68 = 0

II. Jawablah dengan ringkas, jelas dan benar

1. Diberikan titik R(1, 4) dan lingkaran L  x2 + y2 – 2y = 1.

a. Tentukanposisi titik R terhadap L
b. Persamaan garis polar lingkaran dari titik R

Hal 15

2. Tentukan jarak antara tutul (1 , 2) dengan lingkaran x 2 + y 2 – 2x – 4y + 1= 0
3. Selidiki hubungan garis 3x + 4y – 12 = 0 dan galangan (x – 2)2 + (y + 1)2 = 4

4. Tentukan PGS (x – 3)2 + (y + 1)2 = 5 dititik (1, 0) !

5. Tentukan persamaan garis sentuh pada L x2 + y2 – 6x + 2y – 6 = 0 yang :
a.bergradien
b.merembas lurus dengan 2x – 8y – 5 =
c.sejajar dengan y + 2x = 1

Hal 16

Daftar pustaka
Drs. Sumadi dkk. 1966. Matematika SMU 2A. Distingtif : Tiga Sekuplet.
Sukino. 2007 dan 2022. Matematika Bagi SMA Papan bawah XI. Jakarta : Erlangga.
Tim Sistem solar. 2004. Tata surya SMU Matematika II A. Klaten : CV.Merpati.
Tim Penyusun. 2007. 2007 Soal Pemantapan UN Matematika. Bandung : Yrama Widya.
Sukino,Matematika peminatan kelas XI kurikulum 2022 penerbit erlangga

Peristiwa 17

Source: https://anyflip.com/ardvv/tyuz/basic