Bahan Ajar Matematika Vektor Pdf

1
MODUL Matematika VEKTOR Kementerian Pendidikan Nasional Universitas Daerah Manado Fakultas Matematika dan Hobatan Deklarasi Alam Jurusan Pendidikan Matematika 007

2
Kata pengantar Modul pembelajaran ini dirancang untuk membimbing peserta didik SMA dalam mengerti kompetensi konsep eksponen melewati penerapan membiasakan tuntas. Pada permulaan waktu 975, penduduk dunia diperkirakan sebanyak milyar, menjelang periode 000 pemukim bumi akan sampai ke 6,6 milyar. Bagaimana orang dapat meramalkannya? Ternyata pertumbuhan penduduk dapat dinyatakan bagaikan fungsi dari waktu, yang dapat dimodelkan secara metematika mengikuti aturan vektor Vektor sudah lalu dikenal sejak SMP dan ketika dikelas SMA materi awal yang dipelajari adalah materi aljabar linear (vektor). Dalam pembahasan modul ini, akan dikaji lebih dalam tentang. Ekspresi Vektor, Operasi Aijabar Vektor, Rumus Jarak, Perbandingan, Perbanyakan Skalar, Proyeksi, dan Multiplikasi Silang Vektor, Penjatahan dalam Buram Koordinat. Tondano, Oktober 007 Penyusun,

3
Daftar Isi Halaman Halaman Francis… Sekapur sirih… Daftar Isi… Kar takhta Modul… Glosarium… 6 Bab I Pendahuluan A. Deskripsi… 7 B. Prasyarat… 7 C. Petunjuk Pengusahaan Modul…8 D. Harapan Intiha E. Kompetensi… – F. Cek Kemampuan… Bab II Penelaahan A. Rencana Membiasakan Siswa Jaga B. Kegiatan Belajar. Kegiatan Berlatih Kegiatan Belajar Kegiatan Sparing Kegiatan Sparing Gerbang III Evaluasi A. Evaluasi Kompetensi B. Rahasia Evaluasi/Sistem Penilaian Bab IV Penutup… 8 Daftar Pustaka… 8

4
Penjatahan privat Bentuk Koordinat Rumus Jarak, Perbandingan, Perbanyakan Skalar, Proyeksi, dan Perkalian Cagak Vektor Operasi Aijabar Vektor Ekspresi Vektor

5
Mengamankan kelainan dengan Menggunakan Konsep Vektor Tuntutan Pencatuan dalam Bentuk Koordinat Rumus Jarak, Perbandingan, Pergandaan Skalar, Proyeksi, dan Perkalian Cagak Vektor Operasi Aijabar Vektor Ekspresi Vektor Matriks 5

6
Glosarium Vektor adalah besaran nan mempunyai raksasa dan arah. Notasi Vektor PQ boleh dituliskan a atau a Kesamaan Dua Vektor jika AB # CD dibaca : ruas garis AB sama (panjang) dan setara ruas garis CD maka AB =CD. Jika noktah P ialah sebuah noktah lega meja, vektor OP = p disebut vektor posisi berpangkal titik P. Vektor eceran adalah vektor nan panjangnya satu satuan. Hasil kelihatannya kadar real k dengan vektor a adalah suatu vektor yang panjangnya k kali tingkatan vektor a dan arahnya adalah a. seperti mana arah vektor a sekiranya k> 0 b. berlawanan dengan arah vektor a jika k < 0 c. sama dengan nol jikalau k = 0 Jarak antara noktah A(x + y + z ) dan B(x + y + z ) pada R sama dengan janjang vektor AB yaitu AB 6

7
Bab I PENDAHULUAN A. DESKRIPSI Modul vektor terdiri atas adegan proses penataran sesuai dengan subkompetensinya yaitu :. Ekspresi vektor, sebagai kegiatan belajar akan membahas akan halnya : signifikasi vektor, kesamaan dua vektor, vektor kosong, vekktor posisi, vektor satuan, vektor dalam ira, vektor basis, panjang satu vektor.. Operasi aljabar vektor, andai kegiatan belajar akan membahas tentang penjumlahan vektor, pengurangan vektor, hasil bisa jadi predestinasi dengan vektor.. Rumus jarak, perbandingan, perkalian skalar, proyeksi, dan multiplikasi cagak vektor, sebagai kegiatan belajar akan ceratai tentang rumus jarak, rumus pembagian.. Pencatuan dalam rencana koordinat, sebagai kegiatan belajar akan membahas mengenai hasil kali skalar dua vektor, bentuk komponen perbanyakan skalar, samudra ki perspektif antara dua vektor, sifat sfaat perbanyakan skalar, proyeksi ortogonal satu vektor sreg vektor tak, perbanyakan silang dua vektor. B. Prasyarat Kemampuan bawah yang harus dimiliki untuk mempelajari modul ini adalah : Memahami lembaga dan ciri matriks Memahami invers matrik Terampil kerumahtanggaan operasi hitung kodrat sungguhan 7

8
C. PETUNJUK Pemanfaatan MODUL a. Penjelasan Cak bagi Murid Didik. Bacalah modul ini dengan seksama mulai semenjak kata pengantar sampai dengan cek kemampuan, kemudian pahami benar seluruh makrifat yang teragendakan di dalamnya.. Selepas Sira mengisi cek kemampuan, pastikan apakah Anda terjadwal kategori orang yang masih harus mempelajari modul ini ataupun anak adam yang tidak lagi mempelajarinya karena sudah menguasainya.. Laksanakan semua tugas-tugas yang terdapat di dalam modul ini seyogiannya kompetensi Engkau berkembang dengan baik.. Setiap mempelajari satu sub kompetensi, Anda harus mulai dari menguasai pengertianpengertian dalam jabaran materi, melaksanakan tugas-tugas dan mengerjakan lembar latihan. 5. Kerumahtanggaan melakukan utas cak bimbingan, Anda tidak diperkenankan mengaram sentral jawaban tambahan pula dahulu, sebelum Kamu menguasai untai latihan. 6. Cocokkan jawaban Anda dengan taktik jawaban, hitung poin yang Kamu peroleh. Kemudian kerjakan saran-saran sesuai dengan hasil latihan Ia. b. Peranan Temperatur. kontributif siswa dalam merencanakan proses belajar.. menegaskan kembali tentang tujuan penutup yang harus dicapai setelah mempelajari modul ini.. kondusif murid didik internal menentukan dan mengakses sendang tambahan tak yang diperlukan buat membiasakan.. melaksanakan penilaian serta mencatat pencapaian kemajuan peserta didik 5. menjelaskan kepada petatar tuntun mengenai penggalan yang perlu lakukan dibenahi dan merundingkan lembaga pendedahan selanjutnya. 8

9
D. Maksud Penutup Tolok Kompetensi : – Menggunakan konsep vektor intern penceraian masalah. Kompetensi Dasar : Kognitif : – Boleh memahami dan menentukan ekspresi vektor intern pemecahan masalah – Dapat memahami dan menentukan operasi aljabar vektor dalam penceraian kebobrokan. – Dapat memahami dan menentukan rumus jarak, perbandingan, perkalian skalar, proyeksi, dan perkalian silang vektor internal pemecahan keburukan. – Dapat memahami dan menentukan pembagian privat bentuk koordinat kerumahtanggaan pemecahan ki kesulitan. Afektif : Siswa dengan senang menunjukkan kesiapan sparing matematika secara bertanggung-jawab sehingga menunjukkan sikap yang maujud dalam mempelajari materi mengenai vektor Psikomotor : Siswa sering menunjukkan kemahirannya setiap kali mengerjakan tugastugas nan membutuhkan keterampilan dalam mempelajari materi tentang vektor. Indikator Hasil Belajar : Kognitif : – Menjelaskan dan menentukan ekspresi vektor – Menentukan perampungan ekspresi vektor – Menguraikan dan menentukan operasi aljabar vektor – Menentukan perampungan gerakan aljabar vektor – Menjelaskan dan menentukan rumus jarak, proporsi, perkalian skalar, proyeksi, dan perkalian cabang vektor – Menentukan penyelesaian rumus jarak, perbandingan, perkalian skalar, proyeksi, dan multiplikasi silang vektor. – Menjelaskan dan menentukan pembagian n domestik bentuk koordinat – Menentukan penyelesaian pembagian intern lembaga koordinat. 9

10
Afektif : – Pesuluh menunjukan sikap nan riil dalam kegiatan pembelajaran. – Siswa menenjukan kesiapan membiasakan. – Siswa selalu smemperhatikan pejelasan guru. – Siswa dengan mendalam mengikuti semua kegiatan pembelajaran. – Peserta selalu menanyakan apa nan belum di mengerti. – Pesuluh dengan reseptif menanyakan pertanyaan pada guru. – Siswa merasa senang mengerjakan tugas. – Murid dengan betul-betul mengukuti proses belajar mengajar. – Siswa dengan teliti mencermati penjelasan hawa dalam mengerjakan tanya. – Siswa selalu berusaha mencari solusi sebelum memperoleh pemecahan. – Pelajar berusaha mau menyoal kepada teman nan tak di mengetahui. – Siswa menjatah diri mau bekerja seperti mana teman. – Siswa dapat berburu soal nan sukar dan gemuk memecahkanya. – Siswa berinisiatif untuk menciptakan menjadikan cak bertanya koteng. – Siswa selalu berusaha mencari muslihat mata air sesuai materi. – Siswa selalu aktif mengajuk kegiatan mengenai Psikomotor : – Menuliskan fon matematika seperti akar, ruang dimensi dua dan tiga – Menunjukan posisi jasad yang baik internal mengikuti kegiatan penataran Ilmu hitung – Melakukan karier intern memintasi soal secara teliti – Terbiasa mengedepankan kesigapan usaha fisik nan baik setiap sparing matematika 0

11
E. KOMPETENSI : Menerapkan Ekspresi vektor Sub Kriteria Lingkup Materi gerendel Penerimaan kompeten penampilan belajar Serebral Afektif Psikomotor si Mendeskri – Signifikasi.Memahami. Memperlihatkan. Boleh psikan vektor, dan kesiapan n domestik menuliskan ekspresi Kesetaraan memahami mengajuk simbol-simbol vektor dua vektor, pengertian pembelajaran (Notasi) Vektor nol, ekspresi. kecam khususnya dalam Vektor vektor dengan baik materi vektor posisi,.menentukan setiap materi yang tepat Vektor penyelesaian diberikan. Dapat runcitruncit, ekspresi. menyoal jika batik Vektor vektor belum dimengerti ruang berdimensi dalam dua dan tiga. ruang, Vektor basis, Tinggi suatu vektor Mendeskri enumerasi. Mengetahui Mengikuti. Dapat psikan vektor, dan pembelajaran menulis operasi pengurangan mengarifi dengan benar-benar prinsip segitiga dan aljabar vektor, hasil usaha vektor. Dengan antusias paralelogram vektor kali bilangan. Menentukan menyoal apabila dengan perampungan suka-suka materi yang vektor manuver belum dimengerti aljabar vektor. mengerjakan latihan soal yang diberikan guru Mendeskri – Rumus. Menguraikan.Majuh Berpikir. Dapat

12
psikan jarak, rumus jarak, Kritis Ketika menggambar rumus Rumus proporsi penerimaan penjatahan ruas jarak, pendistribusian., perkalian berlanjut garis AB dengan perbandin skalar, apabila di dalam perbandingan m : gan, proyeksi, dan Materi Yang lengkung langit perbanyakan perkalian disampaikan ada. Dapat skalar, silang vektor yang keliru menggambar proyeksi,. Menentukan. Mau menanya pendistribusian ruas dan penyelesaian kepada rival jika garis AB kerumahtanggaan perkalian rumus jarak, ada yang belum bagan vektor. cagak perbandingan dimengerti vektor, perkalian skalar, proyeksi, dan perbanyakan silang vektor Mendeskri – Hasil boleh jadi. Menentukan. Comar berpikir psikan skalar dua Penjatahan paham ketika pembagia vektor, privat Bentuk pembelajaran ufuk dalam bentuk Koordinat berlangsung tulangtulangan suku cadang apabila di dalam vektor perkalian materi yang skalar, disampaikan ada besar sudut yang keliru antara dua. Mau bertanya vektor, sifat kepada master jika sfaat tidak dimengerti. perkalian skalar, proyeksi ortogonal suatu vektor pada vektor enggak,

13
perkalian silang dua vektor. F. CEK KEMAMPUAN No Pertanyaan Ya Tidak Apakah Dia telah memahami signifikasi vektor? Apakah sira telah mengarifi definisi dan vektor? Apakah beliau telah mengetahui langkah-langkah penyelesaian vektor? 5 Apakah anda telah mengerti definisi vektor? 6 Apakah beliau sudah mengerti langkah-langkah perampungan definisi vektor? Jika Beliau menjawab Bukan sreg salah satu soal di atas, maka pelajarilah materi tersebut dalam modul ini. Apabila Anda menjawab BAB II YA pada semua tanya, maka lanjutkanlah dengan mengerjakan tugas, tes formatif dan evaluasi yang suka-suka sreg modul ini.

14
BAB II Pendedahan A. RANCANGAN BELAJAR SISWA Sama dengan telah diinformasikan dalam pendahuluan, bahwa modul ini hanya sebagian berpokok perigi belajar nan dapat Beliau pelajari untuk menguasai kompetensi menerapkan konsep aljabar. Untuk mengembangkan kompetensi anda dalam Kekayaan Non Instruksional, Anda perlu cak bimbingan. Aktivitas-aktivitas nan dirancang dalam modul ini selain mengembangkan kompetensi ilmu hitung, juga berekspansi kompetensi Substansi Non Instruksional. Buat itu, maka dalam memperalat modul ini Kamu harus melaksanakan tugas-tugas nan mutakadim dirancang.. Buatlah rencana belajar Kamu berlandaskan rancangan pembelajaran yang sudah lalu disusun makanya master, untuk menguasai kompetensi Konsep vektor dengan menggunakan format sebagai berikut. T o Kegiatan Pencapaian Alasan Tanda tangan Tgl Jam Medan Peralihan bila diperlukan Siswa Guru Memaklumi…,… 0 Guru pengajar Peserta Diklat (…) (…). Rumuskan hasil belajar Ia sesuai standar bukti sparing yang telah ditetapkan. a. Lakukan penguasaan pengetahuan, Dia dapat membuat satu ringkasan menurut signifikansi Beliau sendiri terhadap konsep-konsep yang berkaitan dengan kompetensi yang sudah dipelajari. Selain ikhtisar, Anda juga bisa melengkapinya dengan kliping terhadap pesiaran-informasi yang relevan dengan kompetensi nan sedang Anda pelajari.

15
b. Tataran pekerjaan Anda dapat dituliskan/digambarkan dalam diagram alir yang dilengkapi dengan penjelasannya (mana tahu penanggung jawab setiap tahapan pekerjaan, mana tahu yang terlibat, kapan direncanakan, kapan direalisasikan, dan jadinya barang apa). c. Komoditas hasil praktek internal kegiatan ini bisa Anda kumpulkan maujud cermin benda kerja, atau intern bagan visualisasinya (bagan, foto, dan bukan-lain). d. Setiap tahapan proses akan diakhiri dengan penilaian, lakukanlah diskusi dengan master penyuluh untuk mendapatkan persepakatan, dan apabila ada hal-peristiwa yang harus diperbaiki/dilengkapi, maka Kamu harus melaksanakan saran suhu pembimbing Anda. 5

16
B. KEGIATAN Berlatih. Kegiatan Belajar : Ekspresi Vektor a. Tujuan Kegiatan Belajar Setelah mempelajari uraian kegiatan belajar ini, Anda diharapkan :. Dapat mengetahui signifikansi vektor,. Dapat menentukan kesamaan dua vektor,. Dapat memahami vektor hampa,. Dapat memahami vekktor posisi, 5. Dapat memahami vektor eceran, 6. Dapat memahami vektor urat kayu, 7. Dapat memahami vektor basis. 8. Dapat menentukan suatu vektor.. b. Uraian Materi EKSPRESI VEKTOR. Signifikasi Vektor Kita mutakadim mengenal arti perpindahan, misalnya titik A kita pindahkan ke posisi yang lain menjadi tutul B. Pada perpindahan itu terkandung beberapa makna. a. berapa jauh perpindahannya (jarak); b. ke arah mana perpindahannya. Perpindahan dari titik A ke titik B tersebut dapat digambarkan dengan suatu anak panah yang berpunca di A dan berujung di B. Tangga ruas garis AB menyatakan jauh perpindahannya, sedangkan ain kilap menyatakan arah eksodus. Anak semarak yang menyatakan perpindahan itu disebut vektor. Jadi, vektor adalah besaran yang mempunyai besar dan arah. Besaran sama dengan ini misalnya kecepatan, gaya, momen, dan sebagainya. A Ganbar 5. evakuasi dari titik A ke titik B 6

17
Notasi Vektor Suatu vektor secara geometri disajikan dengan ruas garis berarah. Tangga ruas garis berarah menyatakan tinggi (besar vektor), sedangkan jihat kilat menunjukkan arah vektor. Vektor diberi jenama menurut dasar dan ujungnya, misalnya PQ. PQ dapat dituliskan dengan menggunakan lambang abjad kecil yang dicetak tebal alias dengan huruf kecil yang dibubuhi logo panah di atas huruf itu, misalnya a ataupun a atau diberi topi,misalnya Q a P a Buram 5. Notasi Vektor Bagi vektor PQ dari gambar 5., tutul P disebut titik pangkal (titik asal), sedangkan titik Q disebut tutul ujung (titik halte).. Kesamaan Dua Vektor a. Dua buah vektor dikatakan setimbang apabila jenjang dan arahnya setimpal. Jika AB # CD dibaca : ruas garis AB sama (panjang) dan sejajar ruas garis CD maka AB =CD. Bermula pengertian ini dapat disimpulkan bahwa sebuah vektor boleh digeser ke tempat lain dan lain berubah asalkan panjang dan arahnya begitu juga besar dan kedudukan vektor awal. B D A C Gambar 5. Kesejajaran dua vektor Pulang ingatan! Cap # artinya sebagai halnya dan sejajar (bukan tidak begitu juga) 7

18
b. Pandang dua buah vektor yang arahnya sama, tetapi panjangnya berlainan. Dalam peristiwa ini, keseleo satu vektor bisa dinyatakan dengan vektor yang lain. Perhatikan Gambar 5. AB = CD. ataupun CD = AB B A D C Rang 5. vektor dengan arah yang setara tapi besarnya beda. c. Puas Bentuk 5.5, tampak AB sama tingkatan dengan EF, tapi arahnya antagonistis. Dua biji pelir vektor disebut bentrok apabila panjangnya sama, tetapi arahnya berlawanan. AB = – EF alias EF = – AB B E A F Gambar 5.5 Dua biji pelir vektor yang berlawanan d. Jika dua buah vektor yang arahnya berlawanan dan panjangnya tidak sama maka vektor yang satu dapat dinyatakan dengan nan lain. Pada Rang 5.6 kelihatan AB = – EF alias EF = AB A F E B Rajah 5.6 Dua vektor nan berlawanan dengan tingkatan yang berlainan. Vektor Nol Suatu vektor disebut vektor not apabila panjangnya not. Arah berusul vektor not tak tentu, misalnya AA, BB, CC, dan semacamnya disebut vektor nihil. Vektor not dilambangkan dengan O 8

19
. Vektor Posisi Jikalau bintik P adalah sebuah titik sreg bidang datar, vektor OP = p disebut vektor posisi dari titik x P. Jikalau koordinat tutul P yaitu (x, y ) maka vektor posisi bersumber titik P adalah p = OP = y Y P (x, y ) p y O x X Kerangka 5.7 Vektor posisi tutul P Hal ini penting vektro p punya komponen sisi mendatar x dan komponen arah vertikalnya adalah y. Jika titik A di R dengan koordinat A yaitu (x, y, z ) maka vektor pasisi noktah A ialah Tulangtulangan 5.8 Vektor posisi noktah A a = OA = x y z berkoordinat (x, y, z ) sebaliknya, takdirnya a = x y z merupakan vektor posisi pecah titik A, maka tutul A 5. Vektor Asongan Vektor satuan yaitu vektor nan panjangnya satu satuan. Vektor eceran dengan jihat upet X, dinotasikan dengan i Vektor runcitruncit dengan arah sumbu Y, dinotasikan dengan j Vektor rincih dengan arah sumbu Z, dinotasikan dengan k 9

20
Sehingga untuk vektor di R adalah i = 0 j = 0 Y B (0,) j A (,0) Udara murni i X Gambar 5.9 Vektor rincih plong R Sedangkan untuk di R adalah i = 0 ; j = 0 0 ; k = Gambar 5.0 Vektor asongan plong R Catatan : Kita sudah mengenal adapun vektor rincih, adalah vektor nan panjangnya satu satuan. Vektor rincih berasal satu vektor a adalah vektor yang arahnya sama dengan arah vektor a dan panjangnya a 0

21
6. Vektor dalam Ruang a. Vektor di R Vektor n domestik urat kayu berformat dua ditulis dengan R ataupun R. Untuk menyajikan vektor di R, diperlukan korespondensi sumbu-sumbu koordinat. Cak bagi memudahkan perhitungan dipilih susunan sumbu-sumbu nan saling tegak verbatim, yaitu sumbu mendatar atau sumbu X dan sumbu vertikal atau sumbu Y. Vektor di R ditandai dengan berapa jauh pengungsian ke kanan atau ke kiri dan berapa jauh perpindahan ke atas alias ke radiks. Evakuasi ke kanan diberi segel substansial, ke kidal diberi tanda negatif, evakuasi ke atas diberi label positif, dan ke dasar diberi tanda subversif. Dengan demikian vektor puas R dinyatakan n domestik dua komponen melintang dan vertikal. AB artinya pemindahan dari titik A ke titik B. Pada Tulangtulangan 5. terlihat titik A (, ) dan dituliskan sebagai vektor kolom a = dan titik B (, ) dengan- vektor rubrik b = Gambar 5. Vektor dalam ulas matra dua AB = b – a = – = Dengan cara yang setolok kita dapatkan: CD = EF = GH = 0

22
b. Vektor di R Vektor dalam ruang berdimensi tiga ditulis dengan R maupun R. R ditandai dengan tiga buah sumbu yang saling bertaut. Cak bagi memudahkan dalam perincian, dipilih tiga sumbu yang bertaut ganti mengirik verbatim (ortogonal) yang dikenal dengan: ) arah ke depan ataupun ke pantat disebut sumbu X; ) sebelah ke kanan atau ke kiri disebut sumbu Y; ) arah ke atas atau ke radiks disebut sumbu Z. Seperti Gambar 5. (i). Kemudian sumbu koordinat seperti mana Gambar 5. (i) diputar ke kanan diperoleh api-api koordinat Lembaga 5. (ii). Z Z Y X O Y O X Rajah 5. Vektor dalam ulas ukuran tiga Transendental : ABCD.EFGH adalah sebuah balok dengan AB = ; AD = ; AE = 6, dan sisi-sisinya sejajar dengan tali api koordinat dengan koordinat A (0,, 0), B (,, 0), E(0,, 6), F (,, 6), G (, 6) H (0,, 6) dan titik koordinat lainnya dapat ditentukan (perhatikan Gambar5.). Misalkan titik A (0,, 0) dituliskan sebagai a = maka 0 dan titik E (0,, 6) dituliskan sebagai e = AE = e – a = =

23
Z Gambar 5. Balok ABCD.EFGH Dengan cara yang selaras didapatkan: AF = 0 6 ; AG = 6 ; BH = 6 7. Vektor Basis a. Vektor Basis di R Diberikan titik P (x, y ) seperti kelihatan puas Tulang beragangan 5.. OP merupakan titik setopan/ujung berusul vektor posisi yang titik pangkalnya di kunci koordinat. Dari gambar tertumbuk pandangan bahwa: OP = OQ + QP di mana OP = P OQ = x i QP = y j sehingga dapat dituliskan : P = x i + y j Bentuk vektor ini disebut vektor basis i dan j Gambar 5. Vektor basis lega R

24
Jadi, setiap vektor di R dapat disajikan sebagai asosiasi linear berpunca dua vektor basis i dan j kerumahtanggaan buram : P = x i + y j x dan y berjejer-jejer disebut komponen-komponen mengufuk dan vertikal dari vektor P. catatan Vektor dapat disajikan dalam bagan : a. vektor basia, yaitu P = (x, y ) x b. vektor kolom, merupakan P = y b. Vektor Basis di R Jika R (x, y, z ) yaitu rambang titik dan r adalah vektor posisi R, maka komponenkomponen r dapat dinyatakan andai: x i (searah denganox ) y j (sehaluan dengan OY ) z k (searah dengan OZ ) Z Rang 5.5 Vektor basis pada R dan dari Gambar 5.5 terpandang bahwa bentuk vektor ini yaitu kombinasi linear berusul vektorvektor basis i, j, k OR = OP + PR OR = OQ + QP + PR, sehingga

25
OR = r = x i + y j + z k r = x i + y j + z k Jadi, setiap vektor F n domestik ruang (di R ) dapat disajikan sebagai kombinasi linear berpunca tiga vektor basis i, j, dan k nan tidak sebidang intern susuk: Goresan : Sebuah vektor dalam ruang dapat disajikan n domestik bentuk: a. vektor baris, ialah r = (x, y, z ) b. vektor rubrik, adalah r = x y z 8. Tahapan Suatu Vektor Besar vektor P, apabila digambarkan akan membentuk ruas garis berarah dengan tataran ruas garis nan mengoper lautan vektor itu. Hierarki vektor P ditulis dengan P. a. Vektor di R Jika p ialah titik (x, y ) makaop = P = Y P(x, y ) P O Q X x y Gambar 5.6 Panjang vektor P di R Dengan menggunakan pythagoras maka OP = OQ + QP (perhatikan Bentuk 5.6) P = x + y ( karena OP = P ) P = x y 5

26
Jadi, jika P = x y maka tahapan vektor P adalah P = x y b. Vektor di R x Misalkan OR = r = y adalah vektor z Bentuk 5.7 hierarki vektor r di R posisi di R sebagaimana pada Gambar 5.7. Dengan menggunakan pythagoras, maka OR = OP + PR = OQ + QP + PR OR = x + y + Z (perhatikan Rajah 5.7) r = X Y Z ( karena OR = r ) x Jadi, r = y, panjang vektor r yaitu r = z X Y Z C Ikhtisar Kegiatan Sparing. Pengertian Vektor Kita mutakadim mengenal faedah evakuasi, misalnya titik A kita pindahkan ke posisi nan tidak menjadi titik B. Pada perpindahan itu terkandung beberapa makna. a. berapa jauh perpindahannya (jarak); b. ke arah mana perpindahannya. 6

27
. Kesetaraan Dua Vektor a. Dua buah vektor dikatakan sama apabila panjang dan arahnya sama. Jika AB # CD dibaca : ruas garis AB sekufu (jenjang) dan sejajar ruas garis CD maka AB = CD. b. Pandang dua buah vektor yang arahnya sama, tetapi panjangnya berlainan. c. Lega Gambar 5.5, terbantah AB sama panjang dengan EF, tapi arahnya anti. d. Jika dua biji pelir vektor yang arahnya berlawanan dan panjangnya tidak sebanding maka vektor yang suatu dapat dinyatakan dengan yang tidak.. Vektor Nol Suatu vektor disebut vektor not apabila panjangnya titinada. Jihat berusul vektor not bukan pasti, misalnya AA, BB, CC, dan semacamnya disebut vektor nol.. Vektor Posisi Takdirnya titik P adalah sebuah titik pada permukaan ki boyak, vektor OP = p disebut vektor posisi semenjak titik P. 5. Vektor Eceran Vektor satuan adalah vektor yang panjangnya satu rincih. 6. Vektor kerumahtanggaan Ira a. Vektor di R Vektor intern ruang berukuran dua ditulis dengan R atau R. b. Vektor di R Vektor kerumahtanggaan ruang berdimensi tiga ditulis dengan R atau R. R ditandai dengan tiga buah sumbu nan silih berpotongan. 7. Vektor Basis a. Vektor Basis di R Diberikan titik P (x, y ) seperti tertumbuk pandangan pada Susuk 5.. OP merupakan tutul setopan/ujung dari vektor posisi yang titik pangkalnya di pusat koordinat. b. Vektor Basis di R Jika R (x, y, z ) adalah rawak titik dan r adalah vektor posisi R, maka komponenkomponen r dapat dinyatakan sebagai: 7

28
x i (searah denganox ) y j (searah dengan OY ) z k (searah dengan OZ ) 8. Panjang Satu Vektor Besar vektor P, apabila digambarkan akan membuat ruas garis berarah dengan tinggi ruas garis yang mewakili besar vektor itu. Pangkat vektor P ditulis dengan P. d. Tugas Kegiatan Belajar Diskusikan soal-soal LKS akan halnya ekspresi vektor untuk dipresentasikan. e. Tes Formatif. Nyatakan bintik-titik berikut dengan vektor posisi dalam gambar komponen vektor kolom! a. A (, ) dan B (-, ) b. P (,, ) dan Q (,, -5). Nyatakan vektor-vektor a = dan c = 0 sebagai kontak linear dari i, j, dan k. Diketahui p = i – j + k dan q = i + j – k carilah a. P b. Q c. P Q d. Vektor runcitruncit berpangkal p 8

29
f. Kunci Jawaban. a. a = ; b = b. p = ; q = 5. a = i + j + k c = -i + k. p = ; q = a. P = b. Q = ( ) = = ( ) = 9 = c. Kerjakan menotal P Q, tentukan dulu p + q ; p + q = + = 0 P Q = 6 = 7 ( ) 0 = d. vektor satuan dari p = p i J K = p – j + k = i g. Lembar Kerja Pesuluh (LKS) Untuk kian memahami segala yang sudah anda baca, kerjakanlah soal-tanya berikut. Anda dapat mengarjakannya secara berkelompok belajar anda (- orang).. Diketahui : a = i + j + k b = i – j + k c = i + k Nyatakan hasil penjumlahan vektor-vektor berikut bak vektor kolom! a. a + b b. b + c c. ( a + b ) + c 9

30
d. a + (b + c ) e. Apakah a + b = c + a, bila dolan kebiasaan apakah itu? f. Apakah ( a + b ) + c = ( a + b ) + c, bila bermain sifat apakah itu?. OABC DEFG adalah balok yang rusuk-rusuknya pada tali api X, Y, dan Z. Jika OA = ; OC =, dan OD = 6, nyatakanlah vektor-vektor berikut sebagai kombinasi linear pecah i, j, dan k a. OB e. AF b. AC f. BD c. FC g. AG d. EB. Jika p = dan q = 6 7 Tentukan: a. P c. P Q b. Q d. vektor satuan dari p dan q. Diketahui: a. i – j + k c. i + j + k Carilah: b. -i + 5 k a. a + b + c c. vektor satuan dari a + b + c b. a + b + c 0

31
5. Diketahui vektor a = i + j + k dan b = i + j – 5 k a. Carilah a dan b c. Apakah a +b = a + b b. Carilah a b dan a +b h. Tingkat Penguasaan Rumus : Jumlah Skor yang diperoleh Tingkat Aneksasi = x00% 5 Saran-saran yang harus Engkau lakukan, sesuai dengan tingkat pengusaan yang telah Anda capai sebagai berikut:. > 80 % Bagus! Pertahankan prestasi yang mutakadim Anda capai dan Anda boleh meneruskan dengan kegiatan belajar % Beliau masih teradat membaca pula teks subkomptensi ini dengan lebih seksama, terutama bagian yang belum engkau kuasai.. < 60 % Anda belum belajar bersungguh-sungguh, Anda harus berburu ketinggalan dan bertanyalah pada guru mata latihan akan halnya kesulitan Dia.

32
. Kegiatan Belajar : Usaha Aljabar Vekto r a. Tujuan Kegiatan Membiasakan Setelah mempelajari jabaran kegiatan belajar ini, Kamu diharapkan :. Dapat menentukan penjumlahan vektor,. Dapat menetukan pengkhitanan vektor,. Dapat menentukan hasil kali bilangan dengan vektor b. Uraian Materi Propaganda ALJABAR VEKTOR Penjumlahan Vektor Diberikan dua vektor a dan vektor b. Vektor ketiga yakni vektor c diperoleh dengan menjumlahkan vektor a dan vektor b. Jadi, c = a + b. Vektor c dapat ditentukan dengan cara segitiga dan cara derek genjang. a. Kaidah Segitiga sama kaki Perhatikan Rencana 5.8 b b b a a a (i) (ii) Kerangka 5.8 Pembilangan vektor (i) cara segitiga (ii) cara jajar genjang Jumlah vektor a dan vektor b yang merupakan vektor c dapat ditentukan dengan memindahkan vektor b (tanpa memungkiri panjang dan arahnya) sehingga titik pangkal vektor b berimpit dengan bintik ujung vektor a.

33
Vektor c diperoleh dengan mencantumkan titik pangkal vektor a dengan titik ujung vektor b nan telah dipindahkan. Penjumlahan vektor ini dikenal dengan cara segitiga sama Gambar 5.8(i). b. Cara Jajar Genjang Total bersumber vektor a dan vektor b adalah vektor c nan bisa ditentukan dengan memindahkan vektor b (tanpa mengubah jenjang dan arahnya) sehingga titik tolak vektor b berimpit dengan titik pangkal vektor a. Vektor c nan dimaksud adalah vektor nan titik pangkalnya di titik tolak persekutuan vektor a dan vektor b, serta noktah ujungnya adalah titik kacamata keempat dari leret genjang yang dibentuk oleh a dan b. Cara menjumlahkan vektor sama dengan ini dikenal dengan cara jajar genjang Gambar 5.8(ii). Tugas Enumerasi tiga vektor atau makin dapat dilakukan dengan menggunakan kebiasaan poligon sebagaimana berikut. P P 5 P Perhatikan Susuk 5.9 dari pendirian segitiga tampak bahwa: c = a + b PR = PQ + QR Buram 5.9 Pencacahan vektordengan cara segitiga Dengan mengupas lengkap penjumlahan itu maka: AB = AC + CB (bakal tutul-titik, A, C, dan B) AB = AP + PB (bikin titik-titik A, P, dan B) AB = AD + DL + LB (bagi titik-bintik A, D, L, dan B), dan seterusnya.

34
Aturan – Kebiasaan Pencacahan sreg Vektor ) Komutatif Perhatikan Rajah 5.0 (PQRS adalah baris genjang)! Misalkan PQ = a, SR = a S R Misalkan PS = b, QR = b. b PR = PQ + QR = a + b PR = PS + SR = b + a P a Q Jadi, a + b = b + a Gambar 5.0 penghitungan vektor secara komulatif Signifikan pencacahan pada vektor bersifat komutatif. ) Figuratif Perhatikanlah Gambar 5.! SPQR adalah suatu limas segitiga sama kaki PQ = a, QR = b, RS = c Maka: S ( a + b ) + c = ( PQ + QR ) + RS = PR + SR c = PS a + (b + c ) = PQ + (QR + RS ) P a b R = PQ + QS Q = PS Gambar 5. Penjumlahan vektor secara asosiatif Kaprikornus, ( a + b ) + c = a + (b + c ) Berharga pembilangan pada vektor bersifat asosiatif. Tugas Jika a =, b = dan c =, apakah a – b + c = a – (b + c )? Bagaimanakah dengan ( a + b ) – c, apakah begitu juga a + (b – c )?

35
) Mempunyai atom identitas, ialah vektor Ozon (vektor nihil) Sebab bakal semua vektor a berlaku a + o = udara murni + a = a ) Antagonis satu vektor Tampin maupun invers jumlah maupun subversif dari suatu vektor a adalah suatu vektor yang apabila dijumlahkan dengan vektor a a menghasilkan vektor nihil. Lawan dari vektor a ditulis dengan – a. Apabila digambarkan dengan ruas garis berarah, sebuah vektor – a Lembaga 5. Saingan dari teman dari vektor a ialah vektor yang panj angnya sama dengan vektor a, belaka arahnya bentrok dengan vektor a. Makara, setiap vektor a n kepunyaan invers jumlah (lawan). Sebab: a + (- a ) = (- a ) + a = o. Penyunatan Vektor Diberikan biji pelir vektor, yakni vektor a dan vektor b. Misalkan selisih vektor a dengan vektor b adalah vektor c yang diperoleh dengan kaidah menjumlahkan vektor a dengan p versus vektor b. Jadi, c = a – b = a + (-b ) Secara geometris selisih (ki pemotongan) vektor a dengan vektor b dapat diperlihatkan pada Tulang beragangan 5.. Rencana 5. Ki pemotongan vektor 5

36
a – b = a + (-b ) = PQ + PS = PT = RQ Dari PQR tertumbuk pandangan bahwa : PQ – PR = RQ. Hasil Kelihatannya Qada dan qadar dengan Vektor Hasil kali bilangan betulan k dengan vektor a yaitu suatu vektor yang panjangnya k kali janjang vektor a dan arahnya adalah a. seperti arah vektor a jika k> 0 b. berlawanan dengan arah vektor a jika k < 0 c. sama dengan kosong seandainya k = 0 Bentuk 5. Hasil kali predestinasi dengan vektor Takdirnya a = Sekiranya b =, maka a = =, maka b = = 6 9 Secara umum, bila a = p p q maka k a = k q = r r kp kq kr Rasam – Adat Hasil Kali Bilangan dengan Vektor Bila k dan l bilangan real, a dan b suatu vektor maka: k (- a ) = – (k a )= – k a k (l a ) = (kl) a (k + l) a = k a + l a 6

37
k( a + b ) = k a + kb c. Rangkuman Kegiatan Belajar OPERASI ALJABAR VEKTOR. Penjumlahan Vektor Diberikan dua vektor a dan vektor b. Vektor ketiga yaitu vektor c diperoleh dengan menjumlahkan vektor a dan vektor b. Bintang sartan, c = a + b. Vektor c dapat ditentukan dengan cara segitiga sama dan cara baris genjang. a. Pendirian Segitiga b. Cara Jajar Genjang Sifat – Sifat Pembilangan puas Vektor ) Komutatif ) Simbolis ) Mempunyai anasir identitas, merupakan vektor Ozon (vektor nol) Sebab untuk semua vektor a berlaku a + ozon = o + a = a ) Lawan suatu vekto. Pengurangan Vektor Diberikan buah vektor, yaitu vektor a dan vektor b. Misalkan selisih vektor a dengan vektor b ialah vektor c yang diperoleh dengan mandu menjumlahkan vektor a dengan lawan vektor b.. Hasil Mungkin Suratan dengan Vektor Hasil kali bilangan real k dengan vektor a ialah satu vektor yang panjangnya k mungkin panjang vektor a dan arahnya adalah a. sama dengan arah vektor a jika k> 0 b. inkompatibel dengan jihat vektor a takdirnya k < 0 c. seperti mana nol jikalau k = 0 Rasam – Sifat Hasil Mungkin Takdir dengan Vektor Bila k dan l ketentuan real, a dan b suatu vektor maka:. k (- a ) = – (k a )= – k a. k (l a ) = (kl) a 7

38
. (k + l) a = k a + l a. k( a + b ) = k a + kb d. Tugas Kegiatan Sparing Diskusikan soal-soal nan terserah di LKS adapun operasi aljabar vektor untuk dipresentasikan.. e. Tes Formatif. ABCD adalah larik genjang dengan AB = u, AD = v, titik E dan F masing-masing titik perdua DC dan B C. Nyatakan vektor-vektor berikut dalam u dan v a. AE b. EF c. AF. Diketahui A(, ), B(, ), dan C(0, ) tunjukkan titik A, B, dan C segaris (kolinear) dan carilah AB : BC. Diketahui titik-bintik A(-, 5, ), B(, -, -), dan C( p, q, l). Jika A, B, dan C segaris, carilah nilai p dan q. f. Anak kunci Jawaban. a. AE = AD + DE D E C = v + u = u + v b. EF = E C +CF v F = u – v A u B c. AF = AB + B F Rencana 5.5 Jajaran genjang ABCD = u + v. Langkah untuk memintasi contoh soal di atas adalah. Informasi dari soal mengasihkan tiga biji kemaluan noktah yang terletak pada sumbu – sumbu koordinat x – y, yaitu A(, ), B(, ), dan C(0, ) 8

39
9. Dari noktah-titik koordinat nan diketahui tersebut akan ditunjukkan bila titik A, B, dan C segaris (kolinear) serta akan dicari perbandingan AB dan BC (AB: BC). Untuk menunjukkan titik-noktah A, B, dan C segaris (kolinear) dan mengarifi perbandingan AB : BC, dihitung biji AB dan AC, yaitu AB = b – a = – = AC = c – a = 0 – = 9. AB = b – a = – 5 = 6 6 BC = c – b = l q p – = q p Karena A,B, dan C segaris maka: AB = m BC 6 6 = m q p, diperoleh m = – = – (p – ) -6 = -(q + ) = -p + = q + p = 0 q = p = 0

40
g. Untai Kerja Pelajar (LKS). ABCD jajar genjang bila AB = a, AD = b, tutul E perpotongan diagonal AC clan BD. Nyatakan dengan a dan b vektor – vektor tersebut! D C a. AC d. BE b E b. AE e. ED c. BD f. EB A a B. Berpangkal gambar cak bertanya nomor, nyatakan cedera-selisih vektor berikut laksana ruas garis berarah solo! a. AE – AD c. BE – BC b. AB – AC d. CD – CB. Nyatakan vektor-vektor berikut dengan sebuah vektor tunggal! a. AB + BC + CD + DE b. AD + DC + CE + EK c. AD – AB +CB -CD. Diketahui a =, b =, dan c = Hitunglah: a. a + b – c b. a + b + c c. a + b – c 5. Diketahui: a = i + j + 5 k b = i + k c = -i + j – k Nyatakan sebagai vektor ruangan! a. a + b d. ( a + b ) + c b. b + a e. a + (b + c ) c. b + c f. Apakah bermain aturan komutatif dan metaforis 0

41
h. Tingkat Penguasaan Rumus : Jumlah Skor yang diperoleh Tingkat Perebutan = x00% 5 Saran-saran yang harus Anda lakukan, sesuai dengan tingkat pengusaan yang sudah Anda capai bagaikan berikut:. > 80 % Bagus! Pertahankan prestasi yang telah Anda capai dan Anda boleh melanjutkan dengan kegiatan sparing % Engkau masih wajib mendaras kembali teks subkomptensi ini dengan kian seksama, terutama bagian yang belum anda kuasai.. < 60 % Beliau belum belajar bersungguh-sungguh, Anda harus mengejar utang dan bertanyalah pada guru mata latihan adapun kesulitan Beliau.

42
. Kegiatan Belajar : Rumus Jarak, Proporsi, Multiplikasi Skalar, Proyeksi, dan Perkalian Silang Vektor. a. Tujuan Kegiatan Belajar : Setelah selesai mempelajari jabaran kegiatan ini, anda diharapkan dapat :. Memahami dan memahami rumus jarak. Mengerti rumus pengalokasian. b. Uraian Materi :. Rumus Jarak Diberikan bintik A(x + y + z ) dengan vektor posisi a = z y x dan noktah B(x + y + z ) dengan vektor posisi b = z y x Jarak antara tutul A dan titik B (perhatikan Bentuk 5.5) yakni tangga vektor AB, yaitu AB AB = b – a = z y x – z y x = z z y y x x Z X O Kerangka 5.6 Menentukan rumus jarak AB = z z y y x x Jarak antara titik A(x + y + z ) dan B(x + y + z ) pada R seperti mana jenjang vektor Ingat

43
Contoh :. Diketahui bintik A(5, 7, -5), B(, 7, -), dan C(, 7, -). Perlihatkan dengan rumus jarak bahwa Aksara siku-kelokan sebanding kaki! Jawab: Untuk menyelesaikan hipotetis di atas dilakukan langkah-langkah berikut. Kamil di atas memberikan publikasi tersusunnya bangun segitiga sikusiku sekelas kaki makanya tiga biji zakar tutul, yaitu A (5, 7, -5), B (, 7, -), clan C (, 7, -).. Dari informasi tersebut, kita akan memperlihatkan dengan menggunakan rumus jarak bahwa segitiga sama Huruf yang disusun bersumber bintik-titik A, B, dan C memang siku-siku sama kaki.. Sebuah segitiga sama kaki dikatakan sama kaki jika ada dua sisinya yang sama panjang, Dan sebuah segitiga dikatakan lekukan-siku jika salah suatu sudutnya 90, sehingga internal segitiga sama tersebut bertindak teorema pythagoras. Lakukan menghitung tahapan sisi-sisi segitiga yang akan dibuktikan bahwa segitiga sama itu kelokan-lekukan separas tungkai, maka digunakan rumus jarak sebagai berikut. r = x x y y z z. Dari persamaan rumus jarak nan terletak di langkah diperoleh sisi-sisi segitiga itu, merupakan AB = = 0 = 5 AC = = 9 0 = 0 BC = 7 7 = 0 = 5 5. Dari hasil yang diperoleh di anju (), dengan menerapkan teorema pythagoras diperoleh AB = 5 BC = 5 AC = 0 Sekiranya dilihat pangkat kedua sisi segitiga itu ialah AB dan BC, maka segitiga itu adalah setara suku, dan jika kita amati dalam segitiga tersebut main-main teorema pythagoras nan menyatakan AB + BC = AC. Jadi, segitiga ABC siku-siku di B dan ekuivalen kaki.. Buktikan bahwa titik-titik A(,, -), B (, 5, 0), dan C(-,, ) adalah titik-titik sudut segitiga siku-siku sama kaki. Jawab: Ki aib ini dapat diselesaikan dengan ancang-langkah berikut.. Mengarifi masalah Apa yang diketahui situasi ini, kita cari jarak dua titik dengan teorema pythagoras atau dengan dot product.

44
. Merencanakan penyelesaian Dengan jarak dua titik = x x y y z z alias cos x = a b a b. Melaksanakan perhitungan AB = 5 0 = = AC = = = BC = 5 0 = 6 = 5 = Hasil perhitungan: BC = AB + AC Makara, segitiga ABC siku-siku sepadan kaki dan siku-siku di A. Kaidah lain AB = b – a = 5 – = 0 AC = c – a = – = A (,, -) B(, 5, 0) C(-,, ) Gambar 5.7 Segitiga siku-belokan sebanding kaki. Cos A = = 0 Kaprikornus A = 90 ABC siku-pengkolan di A.

45
. Rumus Pembagian Sebelum membincangkan tentang pembagian suatu ruas garis dengan menunggangi konsep vektor, terlebih dulu dibahas pembagian plong ruas garis dengan rasio m : horizon. a. Pembagian Ruas Garis dalam Skala m : n Misalkan suatu titik P membagi ruas garis AB dalam perbandingan m: n sedemikian rupa sehingga AP : PB = m : n. a. Jika P membagi di intern, AP dan PB n kepunyaan arah yang sekelas sehingga m dan n mempunyai tanda yang sama. b. Jika P menjatah di luar, AP dan PB mempunyai arah yang bentrok sehingga m dan t berlawanan tanda A P B A B P (a) (b) Gambar 5.8 (a) Titik P membagi garis AB di dalam garis (b) Titik P memberi garis AB di luar garis Contoh : Perhatikan gambar berikut ini, berpunca gambar tersebut boleh ditulis perbandingan ruas garis, seumpama berikut. AP : PB = m : n m horizon AP : AB = m : (m + tepi langit) A P B AP : PB = m : -ufuk AP : AB = m: (m – n) m A B P n AP : PB = : AP : AB = : A P B 5

46
AP : PB = : AP : AB = : A P B AP : PB = : – = : – AP : AB = : = : A B P Gambar 5.9 Pengalokasian ruas garis b. Rumus Pembagian dalam Bentuk Vektor Perhatikan Rang 5.0! Jika p merupakan vektor posisi bintik P yang memberi AB dengan perimbangan m : n, P antara A dan B, maka p = mb na m n Ozon Gambar 5.0 Pendistribusian ruas garis AB dengan Perk.dingan m : falak Bukti: AP : PB = m : n Untuk semua letak P : AB, di privat maupun di luar berlaku: AP : PB = m : n n ( p – a ) = m (b – p ) n p – n a = mb – m p m p + n p = mb + cakrawala a (m + n) p = mb + kaki langit a 6

47
p = mb na m horizon (terbukti) O Gambar 5. Pembagian ruas garis AB intern bentuk vektor Cermin:. Bila a, b, dan c adalah vektor-vektor posisi mulai sejak noktah A, B, dan C dari Huruf. Titik D pada AC sehingga AD : DC = l :. Titik E pada BC sehingga EC : EC = : Nyatakan DE dalam a, b, dan c Jawab: C d = e = c a = ( c + a ) D E c b = ( c +b ) A B Gambar 5. pembagi ruas garis AB dalam bentuk vektor DE = e – d = ( c + b ) – ( c + a ) c b c a = = (9 c +b – c – 8 a ) = (-8 a + b – 5 c ) Catatan : – Internal hal ini untuk pengalokasian di luar, rumus” akan lebih mudah digunakan bila poin numerik m dan n nan lebih besar diambil positif (misalnya : – lebih mudah daripada – : ). – Jika P di tengah-tengah AB, m : t = : 7

48
. Carilah vektor letak titik P dan Q yang membagi AB di dalam dan di luar dengan perimbangan 5: Jawab: Untuk P, m : t = 5: Untuk Q, m : n = 5 : – Maka p = mb na m n Maka q = mb na m n = 5b a 5 = 5b a 5 = 8 (5b + a ) = (5b – a ) c. Ringkasan kegiatan berlatih :. Rumus Jarak Diberikan titik A(x + y + z ) dengan vektor posisi a = x y z dan titik B(x + y + z ) dengan vektor posisi b = x y z Jarak antara noktah A dan bintik B (perhatikan Rang 5.5) adalah hierarki vektor AB, yaitu AB AB = b – a = x y z x – y z x = y z x y z. Rumus Pengalokasian a. Pendistribusian Ruas Garis dalam Perbandingan m : cakrawala Misalkan suatu titik P menjatah ruas garis AB dalam perbandingan m: horizon sedemikian rupa sehingga AP : PB = m : kaki langit. b. Rumus Pengalokasian dalam Buram Vektor Sekiranya p adalah vektor posisi titik P yang membagi AB dengan perbandingan m : n, P antara A dan B, maka 8

49
p = mb na m n d. Tugas Kegiatan Belajar Bikin cak bertanya-soal yang terdapat dalam LKS tentang rumus jarak, perbandingan, perkalian skalar, proyeksi, dan perbanyakan silang vektor bikin dipresentasikan. e. Tes Formatif. Sebuah pesawat terbang lepas landas dari bandaraadi Sucipto mendekati bandara Soekarno-Hatta. Berapakah jarak yang ditempuh kapal udara tersebut bila pesawat tersebut bersirkulasi semenjak tutul x (00, 60, 8) km memusat kota Jakarta sebelum mendarat nan berposisi di titiky (00, 0, 8) km?. Hitung jarak antara titik-bintik berikut! a. O (0,0,0) dan P (,, ). Tunjukkan bahwa P(,, -), Q(-9, -, ), dan R(9, 8, ) adalah titik-titik sudut segitiga kaki!. Pergunakan rumus p = mb na cak bagi menyatakan vektor-vektor posisi dari titik berikut m n dengan a dan b a. C, membagi AB dengan perbandingan : b. D, membagi AB dengan skala : – f. Kunci Jawaban. Jarak yang di tempuh kapal udara nan lepas landas menuju Jakarta di hitung dengan rumus jarak: r = x x y y z z Posisi semula pesawat terbang adalah x (00, 60, 8) km dengan titik tujuannya adalah y (00, 0, 8) km. Jadi jarak yang ditempuh pesawat tersebut yaitu r = = 0 00 = = 60 9

50
= 0,97 km. Ozon = 0 P = 0 0 OP = OP = = OP = 8, Untuk menyelesaikan soal di atas dilakukan ancang-anju berikut. Model di atas memberikan takrif tersusunnya bangun segitiga sikusiku sama kaki oleh tiga buah tutul, yakni P(,, -), Q(-9, -, ), dan R(9, 8, ). Dari informasi tersebut, kita akan memperlihatkan dengan memperalat rumus jarak bahwa segitiga PQR yang disusun dari titik-bintik P, Q, dan R memang kelukan-tikungan sepadan kaki.. Sebuah segitiga sama kaki dikatakan sama kaki jika suka-suka dua sisinya yang sepadan tahapan, Dan sebuah segitiga dikatakan belokan-siku jika pelecok suatu sudutnya 90, sehingga dalam segitiga tersebut bermain teorema pythagoras. Cak bagi menotal tataran arah-sebelah segitiga nan akan dibuktikan bahwa segitiga itu siku-pengkolan sama kaki, maka digunakan rumus jarak bak berikut. r = x x y y z z. Semenjak persamaan rumus jarak yang terletak di langkah diperoleh sisi-arah segitiga sama kaki itu, yaitu PQ = 9 = 6 6 = 96 = PR = 8 9 = 6 6 = 96 = QR = = 00 8 = 506 = Dari hasil yang diperoleh di persiapan (), dengan menerapkan teorema pythagoras diperoleh PQ = PR = QR =, 5 50

51
Jika dilihat janjang kedua sisi segitiga itu yaitu AB dan BC, maka segitiga sama itu yaitu sekelas kaki, dan jika kita amati n domestik segitiga tersebut main-main teorema pythagoras yang menyatakan PQ + PR = QR. Jadi, segitiga Aksara siku-siku di B dan setimpal kaki.. a. Kerjakan C, m : ufuk = : b. Cak bagi D, m : n = : – Maka p = mb na m kaki langit Maka q = mb na m n = b a = b a = 5 (b + a ) = (b – a ) g. Lawai Kerja Pesuluh (LKS). Tunjukkan bahwa A(, 5, 7), B(8, 6, ), C(7,, -5), dan D(, 0, ) merupakan belah bogem mentah!. Tunjukkan bahwa A(,,-), B(, 5, 0) dan C(-,, ) adalah titik sudut – bintik sudut segitiga sama kaki belokan-pengkolan ekuivalen tungkai!. Diketahui A(-, 0), B(6, 0), dan C(9, 0) adalah bintik pada tali api X. Carilah biji perbandingan: a. OB : BC c. AB : BC e. OB : BA b. OC : CB d. OA : OB. Suatu ruas garis AE dibagi menjadi catur adegan yang sama oleh bintik B, C, dan D. Carilah nilai-skor neraca berbunga: a. AB : BD c. AE : EC e. DA : AC b. AB : AE d. BE : ED f. CE : EB 5. Noktah-titik P, Q, dn R berleret-leret titik-noktah paruh BC, CA, dan AB berasal Abjad; a, b, dan c yaitu vektor-vektor posisi dari A, B, C Nyatakan p, q, dan r dengan a, b, dan c Nyatakan bahwa AP, BQ, clan CR dengan a, b, dan c Tunjukkan bahwa p + q + r = a + b + c Tunjukkan bahwa AP + BQ + CR = Udara murni 5

52
h. Tingkat Penguasaan Rumus : Jumlah Angka yang diperoleh Tingkat Penguasaan = x00% 5 Saran-saran yang harus Dia lakukan, sesuai dengan tingkat pengusaan yang telah Anda capai misal berikut:. > 80 % Bagus! Pertahankan prestasi yang telah Anda capai dan Anda bisa meneruskan dengan kegiatan belajar % Anda masih perlu membaca kembali teks subkomptensi ini dengan makin seksama, terutama bagian yang belum anda kuasai.. < 60 % Engkau belum sparing bersungguh-sungguh, Anda harus berburu ketinggalan dan bertanyalah plong guru mata pelajaran akan halnya kesulitan Anda. 5

53
. Kegiatan Berlatih : Penjatahan Privat Bentuk Koordinat a. Maksud Kegiatan Belajar : Selepas mempelajari uraian materi ini anda diharapkan bisa: ) Dapat menentukan hasil mungkin skalar dua vektor, ) Dapat memahami bentuk suku cadang perkalian skalar, ) Boleh mengetahui besar sudut antara dua vektor, ) Dapat menentukan aturan sifat perkalian skalar, 5) Dapat memaklumi proyeksi ortogonal suatu vektor plong vektor lain, 6) Dapat menentukan perkalian silang dua vektor. b. Uraian Materi : Penjatahan Dalam Bentuk Koordinat Jika P (x p, y p, z p ) memberi ruas garis yang mencantumkan A (x, y, z ) dan B(x, y, z ) dengan perbandingan m : n, maka : x p = mx nx my ; ny yp = ; z p = m n m n mz nz m n Bukti : Dari rumus pencatuan dalam tulang beragangan vektor, merupakan x mb na p = ; di mana a = y m falak z ialah vektor posisi semenjak tutul A (x, y, z ) dapat diubah menjadi: b = x y z adalah vektor posisi dari titik B(x, y, z ) 5

54
A (x, y, z P (x p, y p, z p ) B(x, y, z ) x y z p p p = x x m y n y z z m ufuk m horizon x y z p p p = m cakrawala mx my mz nx ny nz a p b Sehingga diperoleh, O Gambar 5.5 bintik Q menjatah diluar x p = mx nx my ; ny yp = ; z p = m n m n mz nz (pahit lidah) m n contoh : Carilah koordinat tutul P dan Q nan memberi garis yang menghubungkan A(,, 6) dan B(, 0, ) di dalam dan di luar dengan neraca : Jawab: (i) Noktah P membagi di intern A(,, 6) P (x p, y p, z p ) B(, 0, ) x p = y p = z p = 0 6 = = = = – 0 = a p b 6 6 = Jadi, koordinat P (,, ) O Gambar 5. Titik P membagi di intern 5

55
(ii) Titik Q membagi di luar Q (x q, y q, z q ) A(,, 6) B(, 0, ) x q = y q = z q = 0 ( ) 6 = = – = Jadi, koordinat Q (, -, 0) = – q a b = 0 = 0 Ozon Gambar 5.5 Titik Q membagi di luar. Hasil Kali Skalar Dua Vektor Hasil kali skalar dari vektor a dan b yang masing-masing bukan vektor hampa dinyatakan dengan a b (dibaca a dot b). Perkalian skalar mulai sejak vektor a dan b adalah suatu ganjaran real nan didefinisikan oleh: a b = a b cos ө ө adalah sudut antara a dan b, dengan 0 B л Sekiranya a = 0 atau b = 0 maka a b = 0 dan ki perspektif ө tidak tertentu. Etiket dari a b ditentukan oleh besarnya ө. Jika 0 ө < л, maka a b > 0 a. Jika ө = л, maka a b = 0 b a 55

56
. Takdirnya л < ө л, maka a b < 0 a Gambar 5.6 Tera dari a b berlandaskan besarnya ө Catatan. Karena cos ө = cos (-ө), maka arah pengukuran ө bersumber a ke b alias dari b ke a tak menjadi tanya.. Bila a ± b, maka a b = 0. Hasil kelihatannya skalar dua vektor bukanlah suatu vektor melainkan suatu bilangan (skalar).. Bagan Komponen Multiplikasi Skalar Misalkan A(a, a, a ) dan B(b, b, b ), maka: OA = a a a AB = ( b a a) ( b a ) ( b ) Z Y B(b, b, b ) b A(a, a, a ) a Ozon X Gambar 5.7 Bagan komponen perkalian skalar 56

57
57 Dengan menggunakan aturan cosinus pada AOB, maka: AB = OA + OB – OA OB cos ө (b – a ) + (b a ) + (b a ) = (a + a + a ) + (b + b + b ) a b cos ө – a b – a b – a b = a b cos ө a b + a b + a b = a b cos ө a b + a b + a b = a b atau a b = a b + a b + a b Jikalau a = a a a dan b = b b b maka ; a b = a a a b b b = a b + a b + a b Lengkap : Jika A(, 5, 8), B(-,, ), dan C(, -6, 0), AB = u dan BC = v, hitunglah u v Jawab: u = AB = b – a = = 5 s v = BC = c – b = = 7 u v = 5 7 = -() + (-)(-7) + (-5)(-) = =

58
. Besar Ki perspektif Antara Dua Vektor Jika dua vektor a dan b berlanggar sreg suatu titik, maka sudut antara dua vektor tersebut ialah tesmak nan dibentuk maka itu kaki vektor a dan kaki vektor b. Ki perspektif yang diambil adalah kacamata terkecil. Sudut Dari rumus: a b = a b + a b + a b a b = a b cos ө Kerangka 5.8 Kacamata antara dua vektor Diperoleh: cos ө = a b = a b a a a b a b a a b b b b Transendental: Carilah besar ki perspektif antara a dan b, bila a = i + j + k dan b = – i + j + k Jawab: Persiapan penyelesaian untuk arketipe di atas adalah. Contoh di atas memberikan maklumat adanya dua vektor berarah a dan b yang memiliki satuan-satuan a = i + j + k dan b = – i + j + k. Kedua vektor di atas akan dikerjakan buat memperoleh ki akbar ki perspektif antara a dan b. Bakal memperoleh ki akbar tesmak a dan b, maka digunakan rumus perkalian skalar antara a dan b, sehingga a b = a b cos ө cos ө = a b a b 58

59
59. Semenjak awalan () kita memperoleh vektor satuan-vektor satuan pecah vektor a dan b, yaitu a = ; b = 5. Dari persiapan () didapatkan: a b = = – + = – cos ө = b a a b = = 6 ө = arc cos = 0 0. Sifat-Sifat Perkalian Skalar a. Aturan-Sifat yang Dolan pada Perkalian Skalar Misalkan a = a a a, b = b b b, dan c = c c c yaitu vektor-vektor di R yang dinyatakan intern rencana vektor ruangan di mana bermain sifat-sifat sebagai berikut.. Komutatif, yaitu a b atau dari b a. Distributif perkalian skalar terhadap penghitungan, yaitu a (b + c ) = a b + a c Bukti :. a b = a a a b b b = a b + a b + a b = b a + b a + b a = b a Kaprikornus, a b = b a terbukti bahwa pada perkalian skalar berwatak komutatif.

60
. b + c = b b b + c c c = b c b c b c a (b + c ) = a a a b c b c b c = a (b +c ) + a (b +c ) + a (b +c ) = (a b + a b + a b ) + (a c + a c + a c ) = a b + a c Kaprikornus, a (b + c ) = a b + a c mujarab adanya sifat distributif. b. Hal-Situasi Tentang Perkalian Skalar Peristiwa-hal mengenai perkalian skalar yang perlu diketahui adalah sebagai berikut.. Tidak tertutup, sebab a b bukan vektor.. Enggak mempunyai anasir identitas, sebab a c = a tak mungkin.. Tidak memiliki elemen invers, sebab a c bukan vektor.. Tidak figuratif, sebab a (b + c ) dan ( a b ) c ) bukan berarti. Contoh: Jika a =, b = 6 dan osean sudut antara a dan b adalah л Carilah: a. a (b + a ) b. b ( a + b ) Jawab: a. a (b + a ) = a b + a a = a b cos л + a = x 6 x + =

61
= 6 + b. b ( a + b ) = b a + b b = b a cos л + b = = + 6 = Proyeksi Ortogonal Satu Vektor pada Vektor Lain Salah satu kegunaan dari perkalian skalar adalah bagi menentukan proyeksi ortogonal dari satu vektor lega vektor lain. a. Proyeksi Skalar Ortogonal Proyeksi skalar ortogonal biasanya disingkat dengan proyeksi skalar saja atau sering dikatakan dengan panjang proyeksi vektor. Misalkan proyeksi OA puas OB adalah OC (perhatikan Gambar 5.9). A O C Gambar 5.9 Proyeksi skalar ortogonal OC = c disebut proyeksi skalar ortogonal a pada b. c = a cos (perhatikan AOC OC c sreg Rajah 5.9 di mana cos = = OA a Berpangkal rumus: a b = a b cos Diperolah : a b = a b cos (ruas kanan dan ruas kiri sama-selaras dibagi dengan b ) 6

62
a cos = a b b pada gambar c = a cos Kaprikornus, proyeksi skalar ortogonal a sreg b adalah c = a b b Skor proyeksi skalar ortogonal mungkin berwujud, nol, atau negatif, terjemur dan besamya tesmak. Jika:. 0 < л, maka c maujud. = л, maka c = 0. л < л, maka c negatif b. Proyeksi Vektor Ortogonal Proyeksi vektor OA pada OB adalah OC = c Vektor runcitruncit bersumber c = satuan dari c c ataupun c = c, karena vektor c searah dengan vektor maka vektor b maka vektor runcitruncit semenjak c yaitu pun vektor satuan terbit b sehingga OC = c = c a b = b vektor rincih dari b b = a b b b b Jadi, proyeksi vektor ortogonal a puas b adalah Komplet: Diketahui a = i – j + 6 k dan b = i + j + k 6

Source: https://docplayer.info/30073045-Modul-matematika-vektor.html