Contoh Soal Persamaan Non Linear

A. Kebaikan Kuadrat

Fungsi kuadrat atau kekuatan berderajat dua ialah fungsi yang pangkat tertinggi berpokok variabelnya adalah janjang dua. Mengingat pangkat dua dalam pertepatan kuadrat sesungguhnya dapat terletak sreg baik variable x maupun variable y, lebih lagi lega tungkai xy(jika ada) maka susuk yang makin masyarakat untuk suatu persamaan kuadrat ialah:

1 Lingkaran

Bagan Awam persamaan lingkaran ialah : ax²
+ by²
+ cx + dy + e = 0

Jikalau i dan j masing-masing yakni jarak daya limbung terhadap sumbu vertikal y dan tali api mendatar x, padahal r adalah ujung tangan-jari limbung, maka pertepatan stereotip gudi menjadi : ( x – i )²
+ ( y – j )²
= r²
, dengan



2 Ellips

Kerangka baku rumus ellips

3 Hiperbola

Jika sumbu lintang sepadan upet x

Jikalau tali api lintang setimpal tali api y

4 Parabola

Bentuk umum persamaan parabola adalah :

y = ax²
+ bx + c, jika api-api simetri sejajar sumbu vertical

atau

x = ay²
+by +c, jika sumbu simetri setara sumbu horisontal

B. Penerapan Ekonomi

1. Permintaan, Penawaran dan Keseimbangan Pasar

Selain berbentuk fungsi linier, permintaan dan ijab boleh lagi berbentuk maslahat non linier. Kemustajaban permintaan dan keistimewaan ijab yang kuadratik dapat berupa rajangan guri, potongan elips, potongan hiperbola maupun potongan parabola. Cara menganalisis kesamarataan pasar untuk permintaan dan penawaran yang non linier sama seperti halnya dalam kasus nan linier. Keadilan pasar ditunjukkan makanya kesamaan Q_d
= Q_s, pada perpotongan kurva permintaan dan kurva penawaran.

Keseimbangan Pasar:

Q_d
= Q_s

Q_d
= kuantitas aplikasi

Q_s
= total penawaran

E    = titik keseimbangan

P_e
= harga keseimbangan

Q_e
= jumlah keseimbangan

Amatan pengaruh pajak dan subsidi terhadap keadilan pasar lagi sama seperti mana pada kondisi linier. Pajak atau subsidi menyebabkan harga jual yang ditawarkan oleh produsen berubah, tercermin oleh berubahnya pertepatan penawaran, sehingga harga keseimbangan dan besaran keadilan yang tercipta di pasarpun berubah. Pajak menyebabkan harga keseimbangan menjadi lebih panjang dan besaran keseimbangan menjadi lebih sedikit. Sebaliknya subsidi menyebabkan harga keseimbangan menjadi kian minus dan total keseimbangan menjadi lebih banyak.

Contoh Cak bertanya:

Fungsi permintaan akan satu produk ditunjukan oleh persamaan Q_d
= 19 – P²
, padahal fungsi penawarannya  yaitu Q_s
=  –8 + 2P²
. Berapakah harga dan jumlah kesamarataan nan tercipta di pasar ?

Jawab :

Keseimbangan Pasar

Q_d

=     Q_s

19 – P²
=  –8 + 2P²

P²
=     9

P        =      3  ≡  P_e

Q        =  19 – P²

=  19 – 3²

Q        =  10   ≡ Q_e

Harga dan jumlah keseimbangan pasar merupakan E ( 10,3 )

Jika misalnya terhadap barang nan bersangkutan dikenakan pajak spesial sebesar 1 (ringgit) sendirisendiri unit, maka persamaan ijab sesudah pengenaan pajak menjadi :

Q_s‘ = –8 + 2(P–1)²
= –8 + 2(P²–2P+1) = –6 –4P+ 2P²

Keadilan pasar yang plonco :

Q_d
= Q_s‘

19 – P²

= –6 – 4P + 2P²

3P²
– 4P – 25 = 0

Dengan rumus abjad diperoleh P₁= 3,63 dan P₂
= –2,30, P₂
tidak dipakai karena harga negative adalah irrasional.

Dengan mengegolkan P = 3,63 ke dalam kemiripan Q_d

atau Q_s‘ diperoleh Q = 5,82.

Jadi, dengan adanya pajak : P_e
^‘

= 3,63 dan Q_e
^‘
= 5,82

Selanjutnya dapat dihitung muatan pajak yang menjadi batih konsumen dan produsen per unit barang, serta jumlah pajak yang diterima oleh pemerintah, masing-masing:

horizon_k
= P_e
^‘
­– P_e
= 3,63 – 3 = 0,63

t_p
= t – tk = 1 – 0,63 = 0,37

T = Q_e
^‘
x cakrawala = 5,82 x 1 = 5,82

2 Keefektifan Biaya

Selain pengertian biaya ki ajek, biaya variable  dan biaya total, internal konsep biaya dikenal pula pengertian biaya rata-rata (average cost) dan biaya marjinal (marginal cost). Biaya rata-rata yakni biaya yang dikeluarkan lakukan menghasilkan tiap unit produk ataupun keluaran, merupakan hasil bikin biaya total terhadap jumlah keluaran yang dihasilkan. Adapun biaya marjinal ialah biaya tambahan yang dikeluarkan bagi menghsilkan suatu unit tambahan produk

Biaya teguh                        :     FC = k

Biaya variable                  :     VC = f(Q) = vQ

Biaya total                         :       C = g (Q) = FC + VC = k + vQ

Biaya taat rata-rata     :

Biaya variable biasanya:

Biaya rata-rata:

Biaya marjinal:

Rencana non linier berusul fungsi biaya sreg umumnya berupa keefektifan kuadrat parabolic dan manfaat kubik. Hubungan antara biaya total dan episode-bagiannya secara grafik dapat dilihat andai berikut:

Biaya total merupakan fungsi kuadrat parabolik

Andaikan C = aQ²
– bQ + c  maka  dan

Maka

1. Biaya kuantitas yaitu kelebihan kubik

Andaikan C = aQ³
– bQ²
+ cQ + d,

maka

dan FC=D

Maka

Contoh Tanya:

Biaya kuantitas yang dikeluarkan oleh sebuah firma ditunjukkan maka dari itu persamaan

C = 2Q²
– 24 Q + 102. Pada tingkat produksi berapa unit biaya total ini minimum? Hitunglah besarnya biaya total paling kecil tersebut. Hitung lagi besarnya biaya loyal, biaya variable, biaya rata-rata, biaya tetap rata-rata dan biaya variable kebanyakan sreg tingkat produksi tadi. Seandainya dari kedudukan ini produksi dinaikkan dengan 1 unit, berapa besarnya biaya marjinal?

Jawab:

Berdasarkan rumus titik ekstrim parabola, C paling kecil terjadi puas takhta

Besarnya C minimum = 2Q²
– 24 Q + 102

= 2(6)²
– 24(6) + 102 = 30

Atau C minimum dapat juga dicari dengan rumus ordinat titik ekstrim parabola, yaitu

Lebih lanjut, pada Q = 6

Takdirnya Q = 7, C =  2(7)²
– 24(7) + 102 = 32

Bermanfaat bikin memanjatkan produksi berusul 6 unit menjadi 7 unit diperlukan biaya tambahan (biaya marjinal) sebesar 2.

2 Kebaikan Penerimaan

Rancangan fungsi penerimaan total (besaran revenue, R) yang non linear pada umumnya berupa sebuah persamaan parabola melangah ke sumber akar.

Penerimaan total merupakan fungsi dari jumlah barang , lagi merupakan hasilkali jumlah barang dengan harga barang per unit. Sebagaimana halnya dalam konsep biaya, dalam konsep penerimaanpun dikenal denotasi rata-rata dan marjinal. Penerimaan rata-rata (average revenue, AR) ialah pengajian pengkajian yang diperoleh per unit barang, adalah hasilbagi penataran total terhadap total barang. Penerimaan marjinal (marginal revenue, MR) adalah pembelajaran suplemen nan diperoleh berpangkal setiap pelengkap suatu unit komoditas yang dihasilkan atau terjual.

Penerimaan total               R = Q x P = f (Q)

Penelaahan rata-rata

AR =
R/Q

Pengajian pengkajian marjinal

MR =

Acuan :

Fungsi permintaan yang dihadapi oleh koteng pembuat monopolis ditunjukkan oleh P = 900 – 1,5 Q. Bagaimana kemiripan penataran totalnya? Berapa besarnya penelaahan besaran jikalau terjual barang sebanyak 200 unit, dan berapa harga jual perunit? Hitunglah penerimaan marjinal dari penjualan sebanyak 200 unit menjadi 250 unit. Tentukan tingkat penjualan yang menghasilkan penerimaan kuantitas maksimum, dan besarnya penerimaan maksimum tersebut.

Jawab:

P = 900 – 1,5 Q  R = Q x P = 900 Q – 1,5 Q²

Jika Q = 200 ,  R = 900 (200) – 1,5(200)²
= 120.000

P = 900 – 1,5 (200) = 600

Ataupun

Jika Q = 250 ,  R = 900 (250) – 1,5(250)²
= 131.250

R = 900 Q – 1,5 Q²

R maksimum pada

Besarnya R maksimum = 900 (300) – 1,5(300)²
= 135.000

3 Keuntungan, Kemalangan dan Pulang Sosi

Amatan Pulang Rahasia (break-even) adalah satu konsep yang digunakan untuk menganalisis total minimum komoditas nan harus dihasilkan maupun terjual kiranya perusahaan enggak mengalami kerugian. Peristiwa pulang sendi (profit nol, π = 0 ) terjadi apabila R = C ; perusahaan tak memperoleh keuntungan tetapi tidak pula menderita kemalangan.  Secara grafik kejadian ini ditunjukkan maka dari itu perpotongan antara kurva R dan kurva C.

Tingkat produksi Q₁
dan Q₄
mencerminkan keadaan pulang resep, sebab penerimaan total begitu juga pengeluaran (biaya) besaran, R = C. Area disebelah kidal Q₁
dan sebelah kanan Q₄
mencerminkan peristiwa rugi, sebab penerimaan besaran lebih kecil berpokok pengeluaran total, R < C. Padahal area diantara Q₁
dan Q₄
mencerminkan keadaan untung, sebab penerimaan total lebih besar dari pengeluaran total, R > C. Tingkat produksi Q₃
mencerminkan tingkat produksi yang memberikan pembelajaran total maksimum. Besar kecilnya keuntungan dicerminkan makanya besar kecilnya selisih kasatmata antara R dan C. Keuntungan maksimum tidak selalu terjadi ketika R maksimum atau C minimum.

Contoh cak bertanya:

Pendedahan total yang diperoleh sebuah perusahaan ditunjukkan oleh kemiripan R = -0,1Q²
+ 20Q, sementara itu biaya total yang dikeluarkan C = 0,25Q³
– 3Q²
+ 7Q + 20. Hitunglah profit perusahaan ini sekiranya dihasilkan dan terjual barang sebanyak 10 dan 20 unit ?

Jawab ;

π  =  R – C = -0,1Q²
+ 20Q – 0,25Q³
+ 3Q²
– 7Q – 20

π  =  – 0,25Q³
+ 2,9Q²
+ 13Q – 20

Q  =  10  π  =  – 0,25(1000) + 2,9(100) + 13(10) – 20

=   –250 + 290 +130 – 20 = 150 (keuntungan )

Q  =  20  π  =  – 0,25(8000) + 2,9(400) + 13(20) – 20

=   –2000 + 1160 +260 – 20 = – 600 (kerugian )

Contoh Soal:

Penelaahan total yang diperoleh suatu perusahaan ditunjukkan makanya fungsi R =  – 0,1Q²
+ 300Q, sedangkan biaya jumlah yang dikeluarkannya C = 0,3Q²
– 720Q + 600.000. Hitunglah :

1. Tingkat produksi nan menghasilkan penerimaan total maksimum ?
2. Tingkat produksi nan menunjukkan biaya  total minimum ?
3. Manakah nan lebih baik bagi firma, berproduksi menguntungkan berproduksi pada tingkat produksi yang menghasilkan penerimaan besaran maksimum atau biaya total minimum ?

Jawab :

R =  – 0,1Q²
+ 300Q

C = 0,3Q²
– 720Q + 600.000

R maksimum terjadi pada

C minimum terjadi pada

π pada R maksimum

Q = 1500   π = – 0,4Q²
+ 1020Q – 600.000

= – 0,4(1500)²
+ 1020(1500) – 600.000

=  30.000

1. π pada C minimum
2. Q = 1200   π = – 0,4Q²
   + 1020Q – 600.000

= – 0,4(1200)²
+ 1020(1200) – 600.000

=  30.000

S
oal-Pertanyaan Tutorial

1. Hitunglah harga dan jumlah keseimbangan pasar dari suatu barang yang tuntutan dan penawarannya per ditunjukkan makanya persamaanQd=40 –P²
   dan Qs = -60+3 P².
2. Hitunglah harga dan jumlah keadilan pasar mulai sejak suatu barang nan permintaan dan penawarannya masing-masing ditunjukkan makanya kemiripan Qd=20– P²
   dan Qs=-28+ 3 P².

3. Penerimaan total yang diperoleh suatu perusahaan ditunjukkan maka dari itu fungsi                       R= – 3Q²+ 750Q, padahal biaya jumlah nan dikeluarkannya C = 5Q²
   – 1000Q + 85.000. Hitunglah :

   a. Tingkat produksi yang menghasilkan penerimaan total maksimum ?

   b.Tingkat produksi yang menunjukkan biaya  total minimum ?

   c. Manakah yang lebih menguntungkan berproduksi lega tingkat produksi nan menghasilkan

       pendedahan total maksimum atau biaya total paling ?