Contoh Soal Proyeksi Skalar Ortogonal

Blog Koma

– Plong kata sandang ini kita akan membahas materi
Proyeksi Ortogonal Vektor pada Vektor. Seperti penjelasan pada “pengertian vektor dan penulisannya”, vektor boleh kita sajikan dalam bentuk geometri (dalah bentuk rang yang diwakili sebuah garis berarah). Karena dalam bentuk garis berarah, maka kita dapat melakukan proyeksi satu garis ke garis lainnya (privat situasi ini adalah vektor ke vektor). Bakal pengertian proyeksi secara mendetail, silahkan baca artikel “Mandu Proyeksi Titik, Garis, dan Bidang”. Sementara kata “Ortogonal” memiliki makna yang terkait dengan
tegak harfiah.
Proyeksi Ortogonal Vektor pada Vektor
menghasilkan sebuah vektor. Cak semau tiga hal nan akan kita bahas berkaitan dengan
Proyeksi Ortogonal Vektor plong Vektor
yaitu “proyeksi skalar vektor lega vektor (menentukan skalarnya)”, “proyeksi vektor pada vektor (menentukan vektornya)”, dan “janjang proyeksi vektor pada vektor”. Bagi makin jelasnya, mari kita perhatikan ilustrasi lembaga “Proyeksi Ortogonal Vektor pada Vektor” berikut ini.

Misalkan kita akan memproyeksikan vektor $ \vec{a} $ pada vektor $ \vec{b} $ sebagaimana tertumbuk pandangan plong ilustrasi gambar 1 di atas.

Proyeksi Ortogonal Vektor $ \vec{a} $ plong Vektor $ \vec{b} $

menghasilkan vektor $ \vec{c} $ dimana ujung vektor $ \vec{c} $ dibatasi makanya sebuah garis tegak literal terhadap vektor $ \vec{b} $ yang ditarik semenjak ujung vektor $ \vec{a} $ ke vektor $ \vec{b} $
. Ada tiga kejadian yang boleh kita tentukan ialah :

(I). Skalarnya yaitu besar dan arah $ \vec{c} $ terhadap vektor $ \vec{b} $,

Jika positif, maka $ \vec{c} $ searah dengan vektor $ \vec{b} $ dan

Jika merusak, maka $ \vec{c} $ berlawanan arah dengan vektor $ \vec{b} $
Jika besarnya nol, maka $ \vec{a} $ tegak lurus $ \vec{b} $

(II). Vektor $ \vec{c} $ itu sendiri (vektor hasil proyeksi)

(III). Tinggi vektor $ \vec{c} $ (tahapan vektor hasil proyeksinya yang nilainya selalu aktual).

         Untuk memudahkan mempelajari materi
Proyeksi Ortogonal Vektor sreg Vektor
ini, sebaiknya kita harus menguasai materi “perbanyakan dot dua vektor” dan “panjang vektor”, karena kedua materi ini yang berkaitan langsung pada penghitungan-penghitungan berkaitan Proyeksi Ortogonal Vektor pada Vektor.

Rumus-rumus berkaitan Proyeksi Ortogonal Vektor sreg Vektor

Perhatikan ilustrasi lembaga 1
Proyeksi Ortogonal Vektor sreg Vektor
di atas. Berikut rumus-rumus yang berkaitan dengan
Proyeksi Ortogonal Vektor pada Vektor, yaitu :

$ \clubsuit \, $ Proyeksi Skalar Ortogonal vektor $ \vec{a} $ sreg vektor $ \vec{b} $ :

Proyeksi skalar $ = \begin{align} \frac{\vec{a}.\vec{b}}{|\vec{b}|} \end{align} $

$ \spadesuit \, $ Proyeksi vektor Ortogonal $ \vec{a} $ lega $ \vec{b} $ :

Proyeksi vektor $ = \begin{align} \left( \frac{\vec{a}.\vec{b}}{|\vec{b}|^2} \right) \vec{b} \end{align} $

$ \heartsuit \, $ Panjang Proyeksi vektor Ortogonal $ \vec{a} $ pada $ \vec{b} $ :

Janjang Proyeksi $ = \begin{align} \left| \frac{\vec{a}.\vec{b}}{|\vec{b}|} \right| \end{align} $

Catatan :

*). Tulang beragangan $ \vec{a}.\vec{b} $ artinya perbanyakan dot dan $ |\vec{b}| $ merupakan janjang vektor $ \vec{b} $.

*). Ki akal memahfuzkan rumusnya adalah terjemur kata “lega” dimana vektor kedua setelah introduksi “pada” gelojoh sebagai pembagi, misalkan :

-). Proyeksi Ortogonal vektor $ \vec{b} $ plong vektor $ \vec{a} $, rumusnya :

Proyeksi skalar $ = \begin{align} \frac{\vec{b}.\vec{a}}{|\vec{a}|} \end{align} $,

Proyeksi vektor $ = \begin{align} \left( \frac{\vec{b}.\vec{a}}{|\vec{a}|^2} \right) \vec{a} \end{align} $,

Panjang Proyeksi $ = \begin{align} \left| \frac{\vec{b}.\vec{a}}{|\vec{a}|} \right| \end{align} $ .

*). Sesuai sifat perbanyakan dot yakni $ \vec{a}.\vec{b} = \vec{b}.\vec{a} $

*). Proyeksi Ortogonal $ \vec{a} $ pada $ \vec{b} $ boleh ditulis $ \begin{align} \text{Proy}_\vec{b} \vec{a} \end{align} $.

*). Kata “Ortogonal” boleh kita tulis maupun juga boleh tidak karena proyeksi pasti tegak verbatim.

*). Lakukan menentukan strata proyeksi vektor, kita dapat berburu dulu hasil proyeksi vektornya kemudian menentukan panjangnya.

*). Untuk konfirmasi rumus-rumus di atas, akan kita sajikan di fragmen akhir sehabis teladan-contoh soalnya.

Model soal
Proyeksi Ortogonal Vektor pada Vektor
:

1). Diketahui vektor $ \vec{a} = (2, -1, 3) $ dan vektor $ \vec{b} = (-1, 2, -2) $ . Tentukan :

a). Proyeksi skalar $ \vec{a} $ pada $ \vec{b} $

b). Proyeksi skalar $ \vec{b} $ pada $ \vec{a} $

c). Proyeksi vektor $ \vec{a} $ plong $ \vec{b} $

d). Proyeksi vektor $ \vec{b} $ pada $ \vec{a} $

e). Panjang proyeksi $ \vec{a} $ puas $ \vec{b} $

f). Hierarki proyeksi $ \vec{b} $ pada $ \vec{a} $

Penyelesaian :

a). Proyeksi skalar $ \vec{a} $ pada $ \vec{b} $

$ \begin{align} \text{Proyeksi skalar } & = \frac{\vec{a}.\vec{b}}{|\vec{b}|} \\ & = \frac{(2, -1, 3).(-1, 2, -2)}{\sqrt{(-1)^2 + 2^2 + (-2)^2} } \\ & = \frac{2.(-1) + -1. 2 + 3. (-2) }{\sqrt{9} } \\ & = \frac{-2 – 2 – 6 }{3} \\ & = \frac{-10}{3} \end{align} $

b). Proyeksi skalar $ \vec{b} $ pada $ \vec{a} $

$ \begin{align} \text{Proyeksi skalar } & = \frac{\vec{b}.\vec{a}}{|\vec{a}|} \\ & = \frac{(-1, 2, -2).(2, -1, 3)}{\sqrt{2^2 + (-1)^2 + 3^2} } \\ & = \frac{-1.2 + 2.(-1) + -2.3}{\sqrt{4 + 1 + 9} } \\ & = \frac{-2 – 2 – 6 }{\sqrt{14}} \\ & = \frac{-10}{\sqrt{14}} \end{align} $

c). Proyeksi vektor $ \vec{a} $ pada $ \vec{b} $

$ \begin{align} \text{Proyeksi vektor } & = \left( \frac{\vec{a}.\vec{b}}{|\vec{b}|^2} \right) \vec{b} \\ & = \left( \frac{-10}{3^2} \right) (-1, 2, -2) \\ & = \left( \frac{-10}{9} \right) (-1, 2, -2) \\ & = \left( \frac{10}{9} , -\frac{20}{9} , \frac{20}{9} \right) \end{align} $

d). Proyeksi vektor $ \vec{b} $ sreg $ \vec{a} $

$ \begin{align} \text{Proyeksi vektor } & = \left( \frac{\vec{b}.\vec{a}}{|\vec{a}|^2} \right) \vec{a} \\ & = \left( \frac{-10}{(\sqrt{14})^2} \right) (2, -1, 3) \\ & = \left( \frac{-10}{14} \right) (2, -1, 3) \\ & = \left( \frac{-5}{7} \right) (2, -1, 3) \\ & = \left( -\frac{10}{7} , \frac{5}{7} , -\frac{15}{7} \right) \end{align} $

e). Panjang proyeksi $ \vec{a} $ pada $ \vec{b} $

$ \begin{align} \text{Tangga proyeksi } & = \left| \frac{\vec{a}.\vec{b}}{|\vec{b}|} \right| \\ & = \left| \frac{-10}{3} \right| \\ & = \frac{10}{3} \end{align} $

f). Panjang proyeksi $ \vec{b} $ lega $ \vec{a} $

$ \begin{align} \text{Panjang proyeksi } & = \left| \frac{\vec{b}.\vec{a}}{|\vec{a}|} \right| \\ & = \left| \frac{-10}{\sqrt{14}} \right| \\ & = \frac{10}{\sqrt{14}} \end{align} $

2). Tentukan proyeksi vektor $ \vec{p} = (2, 4) $ plong $ \vec{q} = (6 , 2) $ dan panjang proyeksi vektor itu!

Perampungan :

*). Misalkan hasil proyeksinya adalah vektor $ \vec{u} $ seperti gambar berikut,

*). Menentukan proyeksi vektor $ \vec{p} $ plong $ \vec{q} $ :

$ \begin{align} \vec{u} & = \left( \frac{\vec{p}.\vec{q}}{|\vec{q}|^2} \right) \vec{q} \\ & = \left( \frac{2.6 + 4.2}{(\sqrt{6^2 + 2^2})^2} \right) (6 , 2) \\ & = \left( \frac{12 + 8}{(\sqrt{40})^2} \right) (6 , 2) \\ & = \left( \frac{20}{40} \right) (6 , 2) \\ & = \left( \frac{1}{2} \right) (6 , 2) \\ & = (3 , 1) \end{align} $

Sehingga vektor proyeksinya adalah $ (3, 1) $.

*). Menentukan strata vektor proyeksinya :

Pangkat proyeksi $ = \sqrt{3^2 + 1^2} = \sqrt{10} $.

Sehingga panjang vektor proyeksinya adalah $ \sqrt{10} $.

Catatan :

Untuk menentukan panjang proyeksi pada contoh soal nomor 2 ini, kita tak wajib mencari hasil vektor proyeksinya apalagi dahulu, melainnya bisa sewaktu memperalat rumus panjang proyeksi vektornya merupakan :

Panjang proyeksi $ = \left| \frac{\vec{p}.\vec{q}}{|\vec{q}|} \right| = \frac{20}{\sqrt{40}} = \frac{20}{40} \sqrt{40} = \frac{1}{2}. 2\sqrt{10} = \sqrt{10} $.

3). Diketahui titik-titik $ A(-3,1,2) $ , $ B(2,2,1) $ dan $ C(-1,0,3)$. Tentukan proyeksi vektor $ \vec{AB} $ plong $ \vec{BC} $!

Penyelesaian :

*). Menentukan $ \vec{AB} $ dan $ \vec{BC} $ :

$ \vec{AB} = B – A = (2 – (-3) , 2 – 1, 1 – 2) = (5, 1, -1) $

$ \vec{BC} = C – B = (-1 – 2 , 0-2, 3 – 1) = (-3, -2, 2) $.

*). Hasil proyeksi vektor $ \vec{AB} $ pada $ \vec{BC} $ misalkan $ \vec{r} $ :

$ \begin{align} \vec{r} & = \left( \frac{\vec{AB}.\vec{BC}}{|\vec{BC}|^2} \right) \vec{BC} \\ & = \left( \frac{5.(-3) + 1.(-2) + -1.2}{(\sqrt{(-3)^2 + (-2)^2 + 2^2})^2} \right) (-3, -2, 2) \\ & = \left( \frac{-15 – 2 – 2}{(\sqrt{9 + 4 + 4})^2} \right) (-3, -2, 2) \\ & = \left( \frac{-19}{(\sqrt{17})^2} \right) (-3, -2, 2) \\ & = \left( \frac{-19}{17} \right) (-3, -2, 2) \\ & = \left( \frac{57}{17} , \frac{38}{17} , -\frac{38}{17} \right) \end{align} $

Jadi, hasil proyeksinya merupakan $ \left( \frac{57}{17} , \frac{38}{17} , -\frac{38}{17} \right) $.

4). Diketahui vektor-vektor $ \vec{u} = (-1,1,-4) $ dan $ \vec{v} = ( 2, -1,3) $ . Tentukan proyeksi skalar dan proyeksi vektor $ (2\vec{u} + 3\vec{v}) $ sreg $ -2\vec{v} $!

Penyelesaian :

*). Lakukan melancarkan dan penyingkatan dalam penulisan, kita misalkan :

$ \vec{a} = (2\vec{u} + 3\vec{v}) = (-2,2,-8) + ( 6, -3,9) = (4, -1 , 1) $

$ \vec{b} = -2 \vec{v} = ( -4, 2,-6) $

Yang kita cari sederajat cuma proyeksi skalar dan proyeksi vektor $ \vec{a} $ puas $ \vec{b} $.

*). Menentukan proyeksi skalar $ \vec{a} $ pada $ \vec{b} $

$ \begin{align} \text{Proyeksi skalar } & = \frac{\vec{a}.\vec{b}}{|\vec{b}|} \\ & = \frac{4.(-4) + (-1). 2 + 1. (-6)}{\sqrt{(-4)^2 + 2^2 + (-6)^2} } \\ & = \frac{-16 – 2 – 6}{\sqrt{16 + 4 + 36 } } \\ & = \frac{-24}{\sqrt{56} } \\ & = \frac{-24}{56} \sqrt{56} \\ & = -\frac{3}{7} \sqrt{56} \end{align} $

sehingga proyeksi skalarnya yakni $ -\frac{3}{7} \sqrt{56} $.

*). Menentukan proyeksi vektor $ \vec{a} $ lega $ \vec{b} $

Kita gunakan hasil di atas :

$ \begin{align} \text{Proyeksi vektor } & = \left( \frac{\vec{a}.\vec{b}}{|\vec{b}|^2} \right) \vec{b} \\ & = \left( \frac{-24}{(\sqrt{56})^2} \right) ( -4, 2,-6) \\ & = \left( \frac{-24}{56} \right) ( -4, 2,-6) \\ & = \left( -\frac{3}{7} \right) ( -4, 2,-6) \\ & = \left( \frac{12}{7}, -\frac{6}{7}, \frac{18}{7} \right) \end{align} $

Sehingga hasil proyeksi vektornya adalah $ \left( \frac{12}{7}, -\frac{6}{7}, \frac{18}{7} \right) $.

5). Diketahui vektor $ \vec{p} = 2\vec{i}+\vec{j} +2\vec{k} $ dan $ \vec{q} = 3\vec{i} + b\vec{j} + \vec{k} $. Jika $ |\vec{r}| $ adalah pangkat proyeksi vektor $ \vec{q} $ pada $ \vec{p} $ dan $ |\vec{r}| = 4 $, maka tentukan nilai $ b $!

Penyelesaian :

*). Diketahui vektor $ \vec{p} = (2, 1, 2) $ dan $ \vec{q} = (3, b, 1) $ .

*). Menentukan ponten $ b $ dengan proyeksi ortogonal $ \vec{q} $ pada $ \vec{p} $ :

$ \begin{align} \text{Tingkatan proyeksi } & = \left| \frac{\vec{q}.\vec{p}}{|\vec{p}|} \right| \\ |\vec{r}| & = \left| \frac{\vec{q}.\vec{p}}{|\vec{p}|} \right| \\ 4 & = \left| \frac{ 2.3 + 1.b + 2.1 }{ \sqrt{2^2 + 1^2 + 2^2 } } \right| \\ 4 & = \left| \frac{ b + 8 }{ \sqrt{9} } \right| \\ 4 & = \left| \frac{ b + 8 }{ 3 } \right| \\ | b + 8 | & = 12 \\ b & = 4 \vee b = -20 \end{align} $

Bintang sartan, nilai $ b $ nan barangkali ialah $ b = -20 $ atau $ b = 4 $.

6). Tentukan proyeksi vektor $ \vec{a} = (2,0,1) $ pada vektor $ \vec{b} $ nan sekufu dan sepadan tangga cuma berlawanan jihat dengan vektor $ \vec{c} = (0, 2, -2 ) $ !

Penyelesaian :

*). Vektor $ \vec{b} = – \vec{c} = -(0, 2, -2) = (0, -2, 2) $.

*). Menentukan proyeksi vektor $ \vec{a} $ pada $ \vec{b} $ :

$ \begin{align} \text{Proyeksi vektor } & = \left( \frac{\vec{a}.\vec{b}}{|\vec{b}|^2} \right) \vec{b} \\ & = \left( \frac{2.0 + 0. (-2) + 1.2}{(\sqrt{0^2 + (-2)^2 + 2^2 })^2 } \right) (0, -2, 2) \\ & = \left( \frac{2}{(\sqrt{8 })^2 } \right) (0, -2, 2) \\ & = \left( \frac{2}{8 } \right) (0, -2, 2) \\ & = \left( \frac{1}{4 } \right) (0, -2, 2) \\ & = \left( 0, -\frac{1}{2} , \frac{1}{2} \right) \end{align} $

Jadi, hasil proyeksi vektornya adalah $ \left( 0, -\frac{1}{2} , \frac{1}{2} \right) $.

7). Diketahui $ \vec{a} = (4, 2, -3) $ dan $ \vec{b} = (-1, 2, -2) $. Vektor $ \vec{c} $ merupakan proyeksi ortogonal vektor $ \vec{a} $ pada $ \vec{b} $. Jika $ \vec{u} = ( -1, 1, z) $ punya panjang yang sama dengan vektor $ \vec{c} $ , maka tentukan nilai $ z $!

Penyelesaian :

*). Menentukan panjang vektor $ \vec{u} $ :

$ |\vec{u}| = \sqrt{(-1)^2 + 1^2 + z^2 } = \sqrt{z^2 + 2} $

*). Menentukan panjang proyeksi vektor $ \vec{a} $ sreg $ \vec{b} $ (pangkat vektor $ \vec{c}$) :

$ \begin{align} \text{Panjang proyeksi } & = \left| \frac{\vec{a}.\vec{b}}{|\vec{b}|} \right| \\ |\vec{c}| & = \left| \frac{4.(-1) + 2.2 + (-3). (-2) }{\sqrt{(-1)^2 + 2^2 + (-2)^2 } } \right| \\ & = \left| \frac{-4 + 4 + 6}{\sqrt{9} } \right| \\ & = \left| \frac{6}{3} \right| \\ & = 2 \end{align} $

*). Menentukan nilai $ z $ dengan $ |\vec{u}| = |\vec{c}| $ :

$ \begin{align} |\vec{u}| & = |\vec{c}| \\ \sqrt{z^2 + 2} & = 2 \, \, \, \, \, \text{(kuadratkan)} \\ (\sqrt{z^2 + 2})^2 & = 2^2 \\ z^2 + 2 & = 4 \\ z^2 & = 2 \\ z & = \pm 2 \end{align} $

Kaprikornus, kredit $ z = -\sqrt{2} $ atau $ z = \sqrt{2} $ .

8). Diketahui $ \vec{a} = (-4, 2) $ dan $ \vec{b} = ( 3, x ) $, $ x $ bilangan bulat positif. Vektor $ \vec{q} $ merupakan proyeksi $ \vec{a} $ ke $ \vec{b} $ dan $ \theta $ sudut nan dibentuk oleh $ \vec{a} $ dan $ \vec{q} $. Jikalau $ \cos \theta = \frac{1}{\sqrt{2}} $ , maka tentukan $ \vec{q} $!

Perampungan :

*). Vektor $ \vec{q} $ adalah hasil proyeksi $ \vec{a} $ ke $ \vec{b} $, artinya $ \vec{q} $ terdapat pada vektor $ \vec{b} $ sehingga sudut antara $ \vec{a} $ dan $ \vec{q} $ setimpal saja dengan sudut antara $ \vec{a} $ dan $ \vec{b} $ .

*). Kita n kepunyaan rumus $ \vec{a}.\vec{b} = |\vec{a}||\vec{b}| \cos \theta $

*). Menentukan kredit $ x $ dengan perkalian dot :

$ \begin{align} \vec{a}.\vec{b} & = |\vec{a}||\vec{b}| \cos \theta \\ (-4, 2).( 3, x ) & = \sqrt{(-4)^2 + 2^2} . \sqrt{3^2 + x^2} . \frac{1}{\sqrt{2}} \\ -4.3 + 2.x & = \sqrt{20} . \sqrt{x^2 + 9} . \frac{1}{\sqrt{2}} \\ -4.3 + 2.x & = \frac{\sqrt{20} }{\sqrt{2}} . \sqrt{x^2 + 9} \\ -12 + 2x & = \sqrt{10} . \sqrt{x^2 + 9} \, \, \, \, \, \, \text{(kuadratkan)} \\ 4x^2 – 48x + 144 & = 10(x^2 + 9) \\ 4x^2 – 48x + 144 & = 10x^2 + 90 \\ 6x^2 + 48x -54 & = 0 \\ x^2 + 8x -9 & = 0 \\ (x + 9)(x-1) & = 0 \\ x = -9 \vee x = 1 \end{align} $

Karena $ x $ positifi, maka $ x = 1 $ nan memenuhi.

Sehingga vektor $ \vec{a} = (-4, 2) $ dan $ \vec{b} = ( 3, x ) = ( 3, 1) $.

*). Menetukan vektor $ \vec{q} $ ialah proyeksi vektor $ \vec{a} $ ke $ \vec{b} $ :

$ \begin{align} \text{Proyeksi vektor } & = \left( \frac{\vec{a}.\vec{b}}{|\vec{b}|^2} \right) \vec{b} \\ \vec{q} & = \left( \frac{-4.3 + 2.1}{(\sqrt{3^2 + 1^2})^2 } \right) ( 3, 1) \\ & = \left( \frac{-10}{(\sqrt{10})^2 } \right) ( 3, 1) \\ & = \left( \frac{-10}{10} \right) ( 3, 1) \\ & = \left( -1\right) ( 3, 1) \\ & = (-3,-1) \end{align} $

Jadi, hasil proyeksi vektornya yaitu $ \vec{q} = (-3,-1) $.

9). Diketahui vektor $ \vec{u} $ dan vektor $ \vec{v} $ membentuk ki perspektif $ \theta $. Jika panjang proyeksi $ \vec{u} $ dan $ \vec{v} $ sama dengan tiga bisa jadi pangkat $ \vec{v} $ , maka tentukan perbandingan tataran $ \vec{u} $ terhadap panjang $ \vec{v} $!

Penuntasan :

*). Diketahui tangga proyeksi $ \vec{u} $ dan $ \vec{v} = 3|\vec{v}| $

*). Menentukan perbandingannya dengan tangga proyeksi $ \vec{u} $ dan $ \vec{v} $ dan rumus perkalian dot :

$ \begin{align} \text{Tingkatan proyeksi } & = \left| \frac{\vec{u}.\vec{v}}{|\vec{v}|} \right| \\ 3|\vec{v}| & = \left| \frac{|\vec{u}||\vec{v}| \cos \theta }{|\vec{v}|} \right| \\ 3|\vec{v}| & = \left| |\vec{u}| \cos \theta \right| \\ 3|\vec{v}| & = |\vec{u}| \cos \theta \\ \frac{3}{ \cos \theta } & = \frac{ |\vec{u}| }{|\vec{v}|} \end{align} $

Jadi, perbandingan hierarki $ \vec{u} $ terhadap panjang $ \vec{v} $ adalah $ |\vec{u}| : |\vec{v}| = 3 : \cos \theta $.

10). Diketahui vektor $ \vec{a} $ dan vektor $ \vec{b} $ membentuk tesmak $ \theta $. Jika tataran proyeksi vektor $ \vec{b} $ pada $ \vec{a} $ seperti $ 2 \sin \theta $ dan panjang vektor $ \vec{b} $ ialah 1, maka tentukan $ \tan 2\theta $!
(Cak bertanya UM-UGM)

Penyelesaian :

*). Rumus dasar trigonometri :

$ \tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta} $ dan $ \tan 2 \theta = \frac{2\tan \theta}{1 – \tan ^2 \theta } $

*). Diketahui tataran proyeksi $ \vec{b} $ pada $ \vec{a} = 2 \sin \theta $.

*). Tangga proyeksi vektor $ \vec{b} $ pada $ \vec{a} $ dan perkalian dot :

$ \begin{align} \text{Panjang proyeksi } & = \left| \frac{\vec{b}.\vec{a}}{|\vec{a}|} \right| \\ 2 \sin \theta & = \left| \frac{|\vec{b}||\vec{a}| \cos \theta}{|\vec{a}|} \right| \\ 2 \sin \theta & = \left| |\vec{b}| \cos \theta \right| \\ 2 \sin \theta & = 1. \cos \theta \\ 2 \sin \theta & = \cos \theta \\ \frac{ \sin \theta }{\cos \theta } & = \frac{1}{2} \\ \tan \theta & = \frac{1}{2} \end{align} $

*). Menetukan biji $ \tan 2\theta $ :

$\begin{align} \tan 2 \theta = \frac{2\tan \theta}{1 – \tan ^2 \theta } = \frac{2. \frac{1}{2}}{1 – (\frac{1}{2})^2} = \frac{1}{1 – \frac{1}{4}} = \frac{1}{\frac{3}{4}} = \frac{4}{3} \end{align} $.

Bintang sartan, nilai $ \tan 2\theta = \frac{4}{3} $.

$ \spadesuit \, $ Pembuktian rumus-rumus berkaitan Proyeksi Ortogonal Vektor lega Vektor :

Perhatikan gambar ilustrasi I di dasar ini.

Vektor $ \vec{a} $ dan $ \vec{c} $ membuat kacamata $ \theta $ dan terjaga segitiga sama belengkokan-kelukan.

sehingga $ \cos \theta = \frac{|\vec{c}|}{|\vec{a}|} $

*). Pembenaran rumus proyeksi skalar $ \vec{a} $ pada $ \vec{b} $ dan panjangnya :

-). Perkalian dot $ \vec{a} $ dan $ \vec{b} $ :

$ \begin{align} \vec{a} . \vec{b} & = |\vec{a}|| \vec{b}| \cos \theta \\ \vec{a} . \vec{b} & = |\vec{a}|| \vec{b}| \frac{|\vec{c}|}{|\vec{a}|} \\ \vec{a} . \vec{b} & = |\vec{b}|| \vec{c}| \\ |\vec{c}| & = \frac{ \vec{a} . \vec{b} }{ |\vec{b}|} \end{align} $

-). Karena $ \vec{a} . \vec{b} $ nilainya dapat positif maupun negatif, sementara bentuk $ |\vec{c}| $ menyatakn panjang vektor $ \vec{c} $ yang nilainya pelalah popsitif, maka bentuk $ \frac{ \vec{a} . \vec{b} }{ |\vec{b}|} $ menghasilkan besar (panjangnya) dan arah (positif atau destruktif). Besarnya saja kita sebut sebagai panjang proyeksinya (pangkat vektor $ \vec{c}$) yang selalu positif, provisional besar dan sisi kita ujar sebagai proyeksi skalar dengan rumusnya yakni :

Proyeksi skalar $ = \begin{align} \frac{\vec{a}.\vec{b}}{|\vec{b}|} \end{align} $

Panjang Proyeksi $ = \begin{align} \left| \frac{\vec{a}.\vec{b}}{|\vec{b}|} \right| \end{align} $

*). Pembuktian rumus proyeksi vektor $ \vec{a} $ pada $ \vec{b} $ :

-). Puas pembuktian di atas, kita telah memperoleh proyeksi skalar $ \vec{a} $ pada $ \vec{b} $ yaitu segara dan arah $ \vec{c} $. Karena skalar $ \vec{c} $ sudah kita peroleh dan $ \vec{c} $ berimpit dengan vektor $ \vec{b} $ maka vektor $ \vec{c} $ adalah hasil semenjak perkalian skalarnya dengan vektor asongan berusul vektor $ \vec{b} $.

$ \begin{align} \vec{c} & = (\text{skalar }) \vec{e}_\vec{b} \\ & = \left( \frac{\vec{a}.\vec{b}}{|\vec{b}|} \right) \frac{\vec{b}}{|\vec{b}|} \\ & = \left( \frac{\vec{a}.\vec{b}}{|\vec{b}|^2} \right) \vec{b} \end{align} $

Sehingga rumus proyeksi vektor $ \vec{a} $ plong $ \vec{b} $ :

Proyeksi vektor $ = \begin{align} \left( \frac{\vec{a}.\vec{b}}{|\vec{b}|^2} \right) \vec{b} \end{align} $

*). Pembenaran kaidah II rumus proyeksi vektor :

-).pada ilustrasi bentuk, misalkan garis putus-putus warna abang kita anggap perumpamaan sebuah vektor $ \vec{d} $ nan tegak verbatim vektor $ \vec{b} $, sehingga $ \vec{d} . \vec{b} = 0 $. Beralaskan penjumlahan vektor secara ilmu ukur yakni aturan segitiga sama kita sambut $ \vec{a} = \vec{c} + \vec{d} $.

-). Vektor $ \vec{c} $ proporsional vektor $ \vec{b} $ sehingga $ \vec{c} = n \vec{b} $ dan sudutnya $ 0^\circ $.

$ \vec{b}. \vec{c} = |\vec{b}||n\vec{b}| \cos 0^\circ = n|\vec{b}|^2 $

-). Menentukan ponten $ tepi langit $ dengan perkalian dot dan sifat pergandaan dot :

$ \begin{align} \vec{a} . \vec{b} & = (\vec{c} + \vec{d}) . \vec{b} \\ \vec{a} . \vec{b} & = \vec{c}. \vec{b} + \vec{d} . \vec{b} \\ \vec{a} . \vec{b} & = \vec{c}. \vec{b} + 0 \\ \vec{a} . \vec{b} & = \vec{c}. \vec{b} \\ \vec{a} . \vec{b} & = n|\vec{b}|^2 \\ n & = \frac{\vec{a} . \vec{b}}{|\vec{b}|^2} \end{align} $

sehingga vektor $ \vec{c} $ yaitu :

$ \begin{align} \vec{c} & = n \vec{b} = \left( \frac{\vec{a} . \vec{b}}{|\vec{b}|^2} \right) \vec{b} \end{align} $

Jadi, rumus Proyeksi vektor $ = \begin{align} \left( \frac{\vec{a}.\vec{b}}{|\vec{b}|^2} \right) \vec{b} \end{align} $ .

       Demikian pembahasan materi
Proyeksi Ortogonal Vektor pada Vektor
dan transendental-contohnya. Silahkan juga baca materi lain nan berkaitan dengan “materi vektor tingkat SMA” yaitu “komponen tegak literal vektor pada vektor”.

Source: https://www.konsep-matematika.com/2017/11/proyeksi-ortogonal-vektor-pada-vektor.html

Posted by: soaltugas.net