Mencari Akar Persamaan Pangkat 3

Blog Koma
– Artikel kali ini akan membincangkan materi
Akar-akar tunggang dan Faktor Persamaan Kaki Banyak. Cak bagi menentukan
akar-akar kemiripan suku banyak, kita akan menggunakan skema horner yang bisa kita pelajari pada materi “Menentukan Nilai Suku Banyak” dan “Gerakan Pembagian Suku Banyak”.
Akar-akar dan Faktor Persamaan Kaki Banyak
tentu ada kaitannya dengan teorema faktor yang terserah puas materi “Teorema Sisa dan Teorema Faktor plong Tungkai Banyak”.

Pengertian Akar-akar Persamaan Kaki Banyak

Jika diketahui suatu suku banyak $ f(x) \, $ dan ($x – a$) adalah faktor dari $ f(x) $, maka $ a \, $ adalah akar tunggang dari persamaan $ f(x) \, $ yang menunaikan janji $ f(a) = 0 $.

Pola soal akar tunggang-akar persamaan tungkai banyak :

1). Apakah 1 dan $ \, -1 \, $ ialah akar dari paralelisme kaki banyak $ 2x^5 – 3x^2 + 2x – 1 $ ?

Penyelesaian :

*). Misalkan tungkai banyaknya $ f(x) = 2x^5 – 3x^2 + 2x – 1 \, $

*). Kita substitusi $ x = 1 \, $ dan $ x = -1 \, $ ke $ f(x) $.

$ \begin{align} x = 1 \rightarrow f(x) & = 2x^5 – 3x^2 + 2x – 1 \\ f(1) & = 2.1^5 – 3.1^2 + 2.1 – 1 \\ & = 2 – 3 + 2 – 1 \\ & = 0 \\ x = -1 \rightarrow f(x) & = 2x^5 – 3x^2 + 2x – 1 \\ f(-1) & = 2.(-1)^5 – 3.(-1)^2 + 2.(-1) – 1 \\ & = 2.(-1) – 3.(1) – 2 – 1 \\ & = -2 – 3 – 2 – 1 \\ & = -8 \end{align} $

*). Kita cak dapat :

$ f(1) = 0 \, $ artinya $ x = 1 \, $ yaitu akar dari tungkai banyaknya.

Karena $ x = 1 \, $ yaitu akarnya, maka $ x = 1 \rightarrow x – 1 = 0 \, $ atau ($x – 1$) adalah faktor mulai sejak $ f(x) $.

$ f(-1) = -8 \, $ artinya $ x = -1 \, $ lain akar pecah suku banyaknya karena $ f(-1) \neq 0 $ .

Cara Menentukan Akar-akar dan faktor Persamaan Suku Banyak

Misalkan cak semau persamaan suku banyak

$ ax^n + cx^{t-1} + c_1x^{tepi langit-2} + … +c_{n-1}x + b = 0 \, $

Anju-langkah menentukan akar-akarnya :

(i). Menentukan
akar-akar Rasional
nan barangkali diperoleh dari pengalokasian faktor $ b \, $ dan faktor $ a \, $ alias $ \, \frac{ \text{faktor } b }{\text{faktor } a} $. Jika nilai $ a = 1 \, $ maka akar tunjang-akar tunjang yang mana tahu tetapi ditentukan oleh faktor dari $ b \, $ saja.

(ii). Dari akar-akar tunjang yang mana tahu tersebut, kita substitusi ke tulang beragangan suku banyaknya, kalau hasilnya yakni nol maka bilangan tersebut adalah akar susu pertamanya.

(iii). Berpunca akar pertamanya tersebut, kita gunakan skema Horner bakal menentukan hasil pembagiannya.

Ideal Soal menentukan akar-akarnya :

2). Tentukan akar-akar tunggang dan faktor dari pertepatan tungkai banyak $ \, x^3 + 2x^2 – 5x – 6 = 0 $.

Penyelesaian :

*). Suku banyaknya : $ f(x) = x^3 + 2x^2 – 5x – 6 \, $.

*). Akar tunggang-akar tunggang yang bisa jadi adalah berbunga faktor semenjak $ – 6 \, $ yaitu $ \{ \pm 1 , \, \pm 2, \, \pm 3, \, \pm 6 \} $.

Faktor disini maksudnya adalah pembaginya.

*). Kita akan substitusi akar susu-akar susu nan mungkin $ \{ \pm 1 , \, \pm 2, \, \pm 3, \, \pm 6 \} $ ke suku banyaknya.

$ \begin{align} x = 1 \rightarrow f(x) & = x^3 + 2x^2 – 5x – 6 \\ f(1) & = 1^3 + 2.1^2 – 5.1 – 6 \\ f(1) & = 1 + 2 – 5 – 6 = – 8 \\ x = -1 \rightarrow f(x) & = x^3 + 2x^2 – 5x – 6 \\ f(-1) & = (-1)^3 + 2(-1)^2 – 5.(-1) – 6 \\ f(-1) & = -1 + 2 + 5 – 6 = 0 \end{align} $

Karena $ f(-1) = 0 \, $ maka $ x = -1 \, $ adalah akar tunggang pertamanya.

*). Kita gunakan skema Horner :

Suku banyaknya : $ f(x) = x^3 + 2x^2 – 5x – 6 \, $ koefisiennya $ 1, \, 2, \, -5, \, -6 $

Akarnya : $ x = -1 \, $ atau faktornya ($x + 1$).

Hasilnya merupakan $ x^2 + x – 6 \, $ . Artinya tulangtulangan suku banyak $ x^3 + 2x^2 – 5x – 6 \, $ dapat difaktorkan menjadi

$ \begin{align} x^3 + 2x^2 – 5x – 6 & = 0 \\ (x^2 + x – 6)(x+1) & = 0 \\ (x-2)(x+3)(x+1) & = 0 \end{align} $

Sehingga faktor-faktor dari $ x^3 + 2x^2 – 5x – 6 = 0 \, $ merupakan $ \, (x – 2), \, (x + 3) , \, $ dan $ \, (x + 1) $.

*). Menentukan akar-akarnya :

Faktor pertama : $ (x – 2) = 0 \rightarrow x = 2 $

Faktor kedua : $ (x + 3) = 0 \rightarrow x = -3 $

Faktor ketiga : $ (x + 1) = 0 \rightarrow x = -1 $

Makara, akar tunggang-akarnya adalah $ \{ -3, \, -2, \, 2 \} $.

Catatan :

*). Bentuk persamaan kuadrat bisa berbarengan difaktorkan jika memang bisa difaktorkan.

*). Rang $ x^2 + x – 6 = (x-2)(x+3) \, $

*). Untuk pemfaktoran susuk persamaan kuadrat, silahkan baca pada artikel “Menentukan akar susu-akar Persamaan Kuadrat”.

3). Jika ($ x + 1$) adalah salah suatu faktor berpokok $ 2x^3 – 3x^2+ px + 2 = 0 \, $, maka tentukan faktor-faktor lainnya.

Penyelesaian :

*). Misal tungkai banyaknya : $ f(x) = 2x^3 – 3x^2+ px + 2 \, $.

*). Menentukan biji $ p $,

Karena ($ x + 1$) ialah faktor semenjak $ f(x) \, $ maka $ f(-1) = 0 $.

$ \begin{align} f(x) & = 2x^3 – 3x^2+ px + 2 \\ f(-1) & = 0 \\ 2(-1)^3 – 3(-1)^2+ p(-1) + 2 & = 0 \\ -2 – 3 -p + 2 & = 0 \\ – 3 -p & = 0 \\ p & = -3 \end{align} $

Sehingga suku banyaknya menjadi : $ f(x) = 2x^3 – 3x^2 – 3x + 2 $

*). Memfaktorkan suku banyak dengan skema horner :

Suku banyaknya : $ f(x) = 2x^3 – 3x^2 – 3x + 2 \, $ koefisiennya $ 2, \, -3, \, -3, \, 2 $

Faktornya ($x + 1$), sehingga akarnya : $ x + 1 = 0 \rightarrow x = -1 $.

Risikonya adalah $ 2x^2 – 5x + 2 \, $ . Artinya buram suku banyak $ 2x^3 – 3x^2 – 3x + 2 \, $ boleh difaktorkan menjadi

$ \begin{align} 2x^3 – 3x^2 – 3x + 2 & = 0 \\ (2x^2 – 5x + 2)(x+1) & = 0 \\ (2x-1)(x-2)(x+1) & = 0 \end{align} $

Sehingga faktor-faktor dari $ 2x^3 – 3x^2 – 3x + 2 = 0 \, $ merupakan $ \, (2x – 1), \, (x – 2) , \, $ dan $ \, (x + 1) $.

Jadi, faktor-faktor lainnya yakni $ \, (2x – 1), \, $ dan $ \, (x – 2) $ .

Kampanye Akar susu-akar susu Persamaan Suku Banyak

Berikut akan kita periksa operasi akar tunggang-akar pertepatan suku banyak, maksudnya kita akan bahas rumus-rumusnya tanpa menentukan akar tunggang-akarnya lebih-lebih lampau.

Rumus-rumus usaha akar susu-akar :

*). Suku banyak berderajat 2 : $ ax^2 + bx + c = 0 \, $ akar-akarnya $ \, x_1, \, x_2 $

penghitungan satu per : $ x_1 + x_2 = – \frac{b}{a} $

penjumlahan dua-dua : $ x_1 . x_2 = \frac{c}{a} $

*). Suku banyak berderajat 3 : $ ax^3 + bx^2 + cx + d = 0 \, $ akar-akarnya $ \, x_1, \, x_2, \, x_3 $

penjumlahan cak satu demi satu : $ x_1 + x_2 + x_3 = – \frac{b}{a} $

penjumlahan dua-dua : $ x_1. x_2 + x_2.x_3 + x_1.x_3 = \frac{c}{a} $

penjumlahan tiga-tiga : $ x_1. x_2.x_3 = – \frac{d}{a} $

*). Suku banyak berderajat 4 : $ ax^4 + bx^3 + cx^2 + dx + e = 0 \, $ akar tunggang-akarnya $ \, x_1, x_2, x_3, x_4 $

pencacahan satu-satu : $ x_1 + x_2 + x_3 + x_4 = – \frac{b}{a} $

penjumlahan dua-dua :

$ x_1. x_2 + x_1.x_3 + x_1.x_4 + x_2.x_3 + x_2.x_4 + x_3.x_4 = \frac{c}{a} $

penjumlahan tiga-tiga :

$ x_1. x_2.x_3 + x_2. x_3.x_4 + x_3. x_4.x_1 + x_4. x_1.x_2 = – \frac{d}{a} $

penjumlahan empat-empat : $ x_1. x_2.x_3 .x_4 = \frac{e}{a} $

Bertindak juga buat tungkai banyak berderajat lebih dari 4, dengan model rumus yang hampir mirip.

Contoh pertanyaan operasi akar-akar paralelisme suku banyak :

4). Diketahui persamaan suku banyak $ x^3 – 2x^2 + 5x + 1 = 0 \, $ dengan akar-akar $ \, x_1, x_2, x_3 $.

Tentukan nilai :

a). $ x_1 + x_2 + x_3 $

b). $ x_1. x_2 + x_2.x_3 + x_1.x_3 $

c). $ x_1. x_2.x_3 $

Penuntasan :

*). Kerjakan penuntasan tanya-soal ini, kita lain perlu menentukan akar tunjang-akarnya terlebih tinggal, sederum doang kita gunakan rumus-rumus persuasi akar tunggang-akar.

*). Menentukan koefisiennya : $ x^3 – 2x^2 + 5x + 1 = 0 \, $ maka $ a = 1, b = -2, c = 5, d = 1 $.

a). $ x_1 + x_2 + x_3 = -\frac{b}{a} = – \frac{-2}{1} = 2 $

b). $ x_1. x_2 + x_2.x_3 + x_1.x_3 = \frac{c}{a} = \frac{5}{1} = 5 $

c). $ x_1. x_2.x_3 = – \frac{d}{a} = -\frac{1}{1} = – 1 $

5). Takdirnya 2 adalah salah satu akar susu persamaan $ \, 2x^4 – 6x^3 + px – 1 = 0 \, $ dengan akar-akar susu $ x_1, x_2, x_3, x_4 $ , maka tentukan jumlah akar tunggang-akarnya.

Penyelesaian :

*). Kita tidak perlu menentukan skor $ \, p \, $ bahkan dahulu, tapi refleks menggunakan usaha akar tunggang-akarnya.

*). Menentukan koefisiennya : $ 2x^4 – 6x^3 + px – 1 = 0 \rightarrow a = 2, b = -6, c = 0, d = p, e = -1 $.

$ x_1 + x_2 + x_3 + x_4 = – \frac{b}{a} = – \frac{-6}{2} = 3 $

Bintang sartan, jumlah akar-akarnya yakni 3.

5). Diketahui -2 dan 3 merupakan akar tunjang-akar tunjang dari pertepatan $ x^5 – 2x^3 + mx^2 + nx – 12 = 0 \, $ . Tentukan jumlah dan hasil kali akar-akar lainnya.
Penyelesaian :

*). Misalkan akar-akar berpangkal pertepatan adalah $ x_1, x_2, x_3, x_4, x_5 \, $ dengan $ x_1 = -2, x_2 = 3 $

*). $ x^5 – 2x^3 + mx^2 + nx – 12 = 0 \rightarrow a = 1, b = 0, c = -2, d = m, e = ufuk, f = -12 $.

*). Karena yang diketahui adalah $ x_1 = -2 \, $ dan $ x_2 = 3 \, $ , maka pertanyaannya :

Total akar-akar lainnya yaitu $ x_3 + x_ 4 + x_ 5 $

Hasil kali akar susu-akar tunggang lainnya adalah $ x_3 . x_ 4 . x_ 5 $

*). Kita tidak perlu menentukan semua akar susu-akarnya terlebih tinggal, tapi langsung menggunakan rumus operasi akar-akarnya.

Kuantitas akar-akar susu lainnya adalah $ x_3 + x_ 4 + x_ 5 $

$ \begin{align} x_1 + x_2 + x_3 + x_4 + x_ 5 & = – \frac{b}{a} \\ (-2) + 3 + x_3 + x_4 + x_ 5 & = – \frac{0}{1} \\ 1 + x_3 + x_4 + x_ 5 & = 0 \\ x_3 + x_4 + x_ 5 & = -1 \end{align} $

Hasil kali akar-akar lainnya yaitu $ x_3 . x_ 4 . x_ 5 $

$ \begin{align} x_1 . x_2 . x_3 . x_4 . x_ 5 & = – \frac{f}{a} \\ (-2) . 3 . x_3 . x_4 . x_ 5 & = – \frac{-12}{1} \\ (-6) . x_3 . x_4 . x_ 5 & = 12 \\ x_3 . x_4 . x_ 5 & = \frac{12 }{-6} = -2 \end{align} $

Makara, jumlah akar-akar lainnya adalah $ -1 $ dan hasil kali akar tunjang-akar tunjang lainnya adalah $ -2 $.

6). Diketahui $ x_1, x_2 $, dan $ x_3 $ adalah akar-akar paralelisme $ 2x^3 – mx^2 – 18x + 36 = 0 $.

Tentukan: a). $ x_1 + x_2 + x_3 $

b). $ x_1. x_2 + x_2.x_3 + x_1.x_3 $

c). $ x_1. x_2.x_3 $

d). poin $ m \, $ dan akar-akarnya seandainya $ x_2 \, $ yakni tara terbit $ x_1 $.

Penyelesaian :

*). Menentukan koefisiennya :

$ 2x^3 – mx^2 – 18x + 36 = 0 \, $ maka $ a = 2, b = -m, c = -18, d = 36 $.

a). $ x_1 + x_2 + x_3 = -\frac{b}{a} = – \frac{-m}{2} = \frac{m}{2} \, $ ….pers(i).
b). $ x_1. x_2 + x_2.x_3 + x_1.x_3 = \frac{c}{a} = \frac{-18}{2} = -9 \, $ ….pers(ii).

c). $ x_1. x_2.x_3 = – \frac{d}{a} = -\frac{36}{2} = – 18 \, $ ….pers(iii).

d). $ x_2 \, $ adalah lawan dari $ x_1 \, $ maksudnya $ x_2 = -x_1 $.

berpokok pers(i) :

$ \begin{align} x_1 + x_2 + x_3 & = \frac{m}{2} \\ x_1 + (-x_1) + x_3 & = \frac{m}{2} \\ x_3 & = \frac{m}{2} \\ m & = 2x_3 \end{align} $

dari pers(ii) :

$ \begin{align} x_1. x_2 + x_2.x_3 + x_1.x_3 & = -9 \\ x_1. (-x_1) + (-x_1).x_3 + x_1.x_3 & = -9 \\ -x_1^2 – x_1.x_3 + x_1.x_3 & = -9 \\ -x_1^2 & = -9 \\ x_1^2 & = 9 \\ x_1 & = \pm \sqrt{9} \\ x_1 & = \pm 3 \end{align} $

*). Menentukan akar-akar tunggang dan nilai $ m \, $ dari $ x_2 = -x_1, \, m = 2x_3, \, x_1 = \pm 3 $ .

*). Kerjakan $ x_ 1 = 3 , \, $ maka $ x_2 = -x_1 = -3 $.

pers(iii) :

$ x_1. x_2.x_3 = -18 \rightarrow 3. (-3). x_3 = -18 \rightarrow x_3 = 2 $.

$ m = 2x_3 = 2. 2 = 4 $.

Sehingga nilai $ m = 4, x_1 = 3, x_2 = -3, x_3 = 2 $

*). Untuk $ x_ 1 = -3 , \, $ maka $ x_2 = -x_1 = -(-3) = 3 $.

pers(iii) :

$ x_1. x_2.x_3 = -18 \rightarrow (-3). 3. x_3 = -18 \rightarrow x_3 = 2 $.

$ m = 2x_3 = 2. 2 = 4 $.

Sehingga poin $ m = 4, x_1 = -3, x_2 = 3, x_3 = 2 $

Jadi, cak semau dua jenis nilai akar-akar nan kita songsong.

Source: https://www.konsep-matematika.com/2016/01/akar-akar-dan-faktor-persamaan-suku-banyak.html

Posted by: soaltugas.net