Persamaan Lingkaran Melalui 2 Titik
Blog Koma
–
Persamaan Lingkaran
merupakan materi yang cak semau kaitannya dengan irisan kerucut. Lingkaran adalah tempat singgasana alias kompilasi titik-bintik yang berjarak setara terhadap suatu titik yang tertentu. Titik tertentu tersebut dinamakan pusat lingkaran dan jarak yang tetap tersebut dinamakan terali guri.
.
Dari gambar di atas, noktah O adalah ki akal lingkaran. Titik A, B, C, D terletak plong limbung, maka OA = OB = OC = OD ialah ujung tangan-jemari galangan = $r$.
Persamaan lingkaran dengan pusat (0,0) dan jemari-jari $ r$
Misalkan ada tutul A($x,y$) terletak lega lingkaran yang berpusat di O($0,0$) seperti mana rangka berikut. Jari-jarinya adalah OA ( $ OA = r $ ).
Dengan menggunakan konsep jarak dua titik dari titik O($0,0$) ke titik A($x,y$), diperoleh :
$\begin{align} |OA| & = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2} \\ r & = \sqrt{(x-0)^2 + (y-0)^2} \\ r & = \sqrt{x^2 + y^2} \\ r^2 & = x^2 + y^2 \end{align} $
Jadi, pertepatan lingkaran berpusat di O($0,0$) dengan jari-deriji $ r $ :
$\begin{align} x^2 + y^2 = r^2 \end{align} $
Contoh :
Tentukan persamaan lingkaran yang berpusat O($0,0$) dan jari-jarinya 5 !
Penyelesaian :
*). Pusatnya Udara murni($0,0$) dan $ r = 5 $
$\begin{align} x^2 + y^2 & = r^2 \\ x^2 + y^2 & = 5^2 \\ x^2 + y^2 & = 25 \end{align} $ Jadi, pertepatan lingkarannya adalah $ x^2 + y^2 = 25 $ .
Persamaan lingkaran dengan sosi A($a,b$) dan terali $ r$
Misalkan ada bintik B($x,y$) terletak pada guri nan berpusat di A($a,b$) seperti gambar berikut. Jari-jarinya adalah AB ( $ AB = r $ ).
Dengan menunggangi konsep jarak dua titik dari titik A($a,b$) ke bintik B($x,y$), diperoleh :
$\begin{align} |AB| & = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2} \\ r & = \sqrt{(x-a)^2 + (y-b)^2} \\ r^2 & = (x-a)^2 + (y-b)^2 \end{align} $
Jadi, pertepatan lingkaran berfokus di A($a,b$) dengan ganggang $ r $ :
$\begin{align} (x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2 \end{align} $
Contoh :
Tentukan persamaan limbung yang berpusat di (-2,1) dengan jari-jari 3 !
Penyelesaian :
*). Pusat $(a,b)=(-2,1) \, $ dan $ r = 3 $
$\begin{align} (x-a)^2 + (y-b)^2 & = r^2 \\ (x-(-2))^2 + (y-1)^2 & = 3^2 \\ (x+2)^2 + (y-1)^2 & = 9 \\ (x^2 + 4x + 4) + (y^2 – 2y + 1) & = 9 \\ x^2 + y^2 + 4x – 2y + 5 & = 9 \\ x^2 + y^2 + 4x – 2y – 4 & = 0 \end{align} $
Jadi, pertepatan lingakarannya : $ x^2 + y^2 + 4x – 2y – 4 = 0 $
Bentuk Publik Pertepatan lingkaran
Susuk masyarakat kemiripan lingkaran ialah $ \begin{align} x^2 + y^2 + Ax + By + C = 0 \end{align} \, $ nan diperoleh dari persamaan lingkaran $\begin{align} (x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2 \end{align} $ .
Menentukan kiat dan ujung tangan-jari liingkaran berpunca rencana umumnya :
$\begin{align} (x-a)^2 + (y-b)^2 & = r^2 \\ (x^2 – 2ax + a^2) + (y^2 – 2by + b^2) & = r^2 \\ x^2 + y^2 – 2ax – 2by + (a^2 + b^2 – r^2) & = 0 \\ \text{bentuk ini sepadan dengan } & \\ x^2 + y^2 + Ax + By + C = 0 \end{align} $
Sehingga diperoleh :
$\begin{align} A & = -2a \rightarrow a = -\frac{A}{2} \\ B & = -2b \rightarrow b = -\frac{B}{2} \\ C & = a^2 + b^2 – r^2 \rightarrow r^2 = a^2 + b^2 – C \\ r & = \sqrt{a^2 + b^2 – C} = \sqrt{(-\frac{A}{2})^2 + (-\frac{B}{2})^2 – C} = \sqrt{\frac{A^2}{4} + \frac{B^2}{4} – C} \end{align} $
Jadi, Pusat pematang dan jari-jarinya :
Gerendel : $ A(a,b) = \left( -\frac{A}{2}, -\frac{B}{2} \right) $
Celah : $ r^2 = a^2 + b^2 – C \, $ atau $ r^2 = \frac{A^2}{4} + \frac{B^2}{4} – C $
Contoh :
Dari paralelisme galangan $ x^2 + y^2 – 4x + 6y – 3 = 0 \, $, tentukan pusat dan jari-jarinya !
Penyelesaian :
*). Persamaan bentuk galibnya : $ x^2 + y^2 – 4x + 6y – 3 = 0 \, $
artinya ponten $ A = -4, \, B = 6, \, $ dan $ C = -3 $
*). Menentukan pusat dan terali lingkarannya.
Buku : $ A(a,b) = \left( -\frac{A}{2}, -\frac{B}{2} \right) = \left( -\frac{-4}{2}, -\frac{6}{2} \right) = (2, -3) $
Ganggang : $ r^2 = a^2 + b^2 – C \rightarrow r^2 = 2^2 + (-3)^2 – (-3) \rightarrow r^2 = 16 \rightarrow r = 4 $
alias cara kedua :
Jari-jari : $ r^2 = \frac{A^2}{4} + \frac{B^2}{4} – C \rightarrow r^2 = \frac{((-4)^2}{4} + \frac{6^2}{4} – (-3) \rightarrow r^2 = 16 \rightarrow r = 4 . $
Bintang sartan, sentral lingkaran ($ 2,-3$) dan ujung tangan-jarinya $ r = 4 $.
Acuan – pola dalam Menyusun Pertepatan gudi
Lakukan menentukan kemiripan lingkaran, kita sekadar membutuhkan pusatnya ($a,b$) dan ganggang $ r $ . Cuma tetapi tidak semua soal sudah lalu lengkap ada kedua-duanya (sentral dan jari-jarinya). Berikut beberapa kamil yang umumnya berkaitan dengan memformulasikan kemiripan lingkaran.
i). Diketahui pusat lingkaran ($a,b$) dan lingkaran melalui rawak noktah ($p,q$). Bagi menentukan persamaan lingkarannya, kita butuh jari-jarinya adalah jarak titik sendi ke noktah yang dilalui. Untuk jarak dua titik, silahkan baca materi “jarak dua noktah”.
Ujung tangan-jarinya : $ \begin{align} r = \sqrt{(p-a)^2 + (q-b)^2} \end{align} $
Contoh :
Tentukan persamaan lingkaran nan n kepunyaan titik anak kunci (1,2) dan melalui titik (3, 5)!
Penyelesaian :
*). Menentukan deriji-jemari halangan (jarak titik (1,2) dan (3,5)) :
$ \begin{align} r & = \sqrt{(3-1)^2 + (5-2)^2} \\ r & = \sqrt{(2)^2 + (3)^2} \\ r & = \sqrt{13} \end{align} $
*). Menyusun pertepatan lingkaran dengan pusat $(a,b)=(1,2) $ dan $ r = \sqrt{13} $
$ \begin{align} (x-a)^2 + (y-b)^2 & = r^2 \\ (x-1)^2 + (y-2)^2 & = (\sqrt{13})^2 \\ (x-1)^2 + (y-2)^2 & = 13 \end{align} $
Jadi, kemiripan lingkarannya adalah $ (x-1)^2 + (y-2)^2 = 13 $
ii). Diketahui pusat lingkaran ($a,b$) dan lingkaran menyinggung garis $ mx + ny + c = 0 $ . Deriji-jari lingkarannya adalah jarak tutul pusat ke garis. Cak bagi menghitung jaraknya, silahkan baca materi “jarak titik ke garis”.
Jari-jarinya : $ \begin{align} r = \left| \frac{m.a + n.b + c}{\sqrt{m^2 + lengkung langit^2}} \right| \end{align} $
Contoh :
Tentukan kemiripan lingkaran nan berfokus di titik (-1,2) dan gudi menyinggung garis $ y = 2x + 9 $ !
Perampungan :
*). Menentukan jari-jari lingkaran (jarak titik (-1,2) ke garis) :
garis : $ y = 2x + 9 \rightarrow 2x-y + 9 = 0 $
$ \begin{align} r & = \left| \frac{m.a + ufuk.b + c}{\sqrt{m^2 + cakrawala^2}} \right| \\ & = \left| \frac{2x-y + 9}{\sqrt{2^2 + (-1)^2}} \right| \\ & = \left| \frac{2.(-1)-2 + 9}{\sqrt{5}} \right| \\ & = \left| \frac{5}{\sqrt{5}} \right| \\ & = \frac{5}{\sqrt{5}} . \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}} = \sqrt{5} \end{align} $
*). Menyusun pertepatan gudi dengan pusat $(a,b)=(-1,2) $ dan $ r = \sqrt{5} $
$ \begin{align} (x-a)^2 + (y-b)^2 & = r^2 \\ (x-(-1))^2 + (y-2)^2 & = (\sqrt{5})^2 \\ (x+1)^2 + (y-2)^2 & = 5 \end{align} $
Bintang sartan, persamaan lingkarannya adalah $ (x+1)^2 + (y-2)^2 = 5 $
iii). Diketahui pusat lingkaran ($a,b$) dan galengan menyinggung tali api-sumbu.
*). Takdirnya halangan Menyinggung sumbu X, maka jari-jarinya $ r = b $
*). Jikalau dok menyinggung sumbu Y, maka ujung tangan-jarinya $ r = a $
*). Kalau lingkaran menyinggung kedua upet, maka noktah pusatnya ($p,p$), sehingga $ r = p $
Contoh :
1). Tentukan persamaan lingkaran yang memiliki pusat (2,5) dan lingkaran menyinggung sumbu X !
Perampungan :
*). Halangan menyinggung api-api X, artinya jari-jari : $ r = b = 5 $
*). Persamaan lingkarannya dengan pusat $(a,b) = (2,5) \, $ dan $ r = 5 $
$ \begin{align} (x-a)^2 + (y-b)^2 & = r^2 \\ (x-2)^2 + (y-5)^2 & = 5^2 \\ (x-2)^2 + (y-5)^2 & = 25 \end{align} $
Makara, persamaan lingkarannya adalah $ (x-2)^2 + (y-5)^2 = 25 $
2). Tentukan kemiripan lingkaran yang memiliki pusat (-3,1) dan lingkaran menyinggung upet Y !
Penyelesaian :
*). Pematang menyinggung tali api Y, artinya terali : $ r = a = -3 $
karena ganggang rajin faktual, maka $ r = |-3| = 3 $
*). Persamaan lingkarannya dengan muslihat $(a,b) = (-3,1) \, $ dan $ r = 3 $
$ \begin{align} (x-a)^2 + (y-b)^2 & = r^2 \\ (x-(-3))^2 + (y-1)^2 & = 3^2 \\ (x+3)^2 + (y-1)^2 & = 9 \end{align} $
Jadi, kemiripan lingkarannya yaitu $ (x+3)^2 + (y-1)^2 = 9 $
3). Tentukan pertepatan lingkaran yang mempunyai taktik (6,6) dan galengan menyinggung kedua sumbu (murang X dan sumbu Y)!
Penyelesaian :
*). Lingkaran menyinggung kedua sumbu, artinya jari-deriji : $ r = a = b = 6 $
*). Pertepatan lingkarannya dengan pusat $(a,b) = (6,6) \, $ dan $ r = 6 $
$ \begin{align} (x-a)^2 + (y-b)^2 & = r^2 \\ (x-6)^2 + (y-6)^2 & = 6^2 \\ (x-6)^2 + (y-6)^2 & = 36 \end{align} $
Jadi, persamaan lingkarannya adalah $ (x-6)^2 + (y-6)^2 = 36 $
iv). Diketahui tutul A($x_1,y_1$) dan titik B($x_2,y_2$) merupakan diameter suatu gudi. Kerjakan menentukan kemiripan lingkarannya, kita harus menentukan titik pusat dan jari-jarinya. Titik pusat dok adalah noktah tengah berusul titik A dan B, serta jari-jarinya adalah setengah dari panjang AB (kaliber). Silahkan baca materi “menentukan titik tengah antara dua titik”.
Noktah Siasat : $ \begin{align} (a,b) = \left( \frac{x_1+x_2}{2} , \frac{y_1 + y_2}{2} \right) \end{align} $
Terali : $ \begin{align} r = \frac{1}{2}|AB| = \frac{1}{2}\sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2} \end{align} $
Cermin :
Jika titik A(1,3) dan titik B(5,7) merupakan penampang suatu lingkaran, tentukan pertepatan halangan tersebut!
Penyelesaian :
*).Menentukan titik gerendel limbung ($a,b$) :
$ \begin{align} (a,b) & = \left( \frac{x_1+x_2}{2} , \frac{y_1 + y_2}{2} \right) \\ & = \left( \frac{1 + 5}{2} , \frac{3 + 7}{2} \right) \\ & = (3,5) \end{align} $
*). Menentukan kisi lingkaran :
$ \begin{align} r & = \frac{1}{2}|AB| = \frac{1}{2}\sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2} \\ & = \frac{1}{2}\sqrt{(5-1)^2 + (7-3)^2} \\ & = \frac{1}{2}\sqrt{4^2 + 4^2} \\ & = \frac{1}{2}\sqrt{32} \\ & = \frac{1}{2}. ( 4 \sqrt{2} ) \\ r & = 2 \sqrt{2} \end{align} $
*). Kemiripan lingkarannya dengan resep $(a,b) = (3,5) \, $ dan $ r = 2\sqrt{2} $
$ \begin{align} (x-a)^2 + (y-b)^2 & = r^2 \\ (x-3)^2 + (y-5)^2 & = (2\sqrt{2})^2 \\ (x-3)^2 + (y-5)^2 & = 8 \end{align} $
Jadi, paralelisme lingkarannya adalah $ (x-3)^2 + (y-5)^2 = 8 $
v). Lingkaran melalui tiga sebarang titik. Buat menentukan kemiripan Lingkarannya, patut substitusi ketiga titik yang dilalui ke persamaan umum gudi : $ x^2 + y^2 + Ax + By + C = 0 \, $ sehingga terbentuk tiga persamaan. Bermula ketiga pertepatan tersebut, bikin peminggiran dan substitusi buat menentukan nilai $ A, B, \, $ dan $ C \, $ , adv amat substitusi kembali skor $ A, B, \, $ dan $ C \, $ ke susuk umum pertepatan lingkarannya.
Hipotetis :
Tentukan persamaan limbung nan melintasi tutul (3, -1), (5, 3), dan (6, 2) kemudian tentukan pula pusat dan jemari-ujung tangan lingkaran. !
Perampungan :
*). Bentuk Umum pertepatan landasan : $ x^2 + y^2 + Ax + By + C = 0 $
*). Substitusi ketiga noktah yang dilalui ke bentuk umum.
$ \begin{align} (x,y) = (3,-1) \rightarrow x^2 + y^2 + Ax + By + C & = 0 \\ 3^2 + (-1)^2 + A.3 + B.(-1) + C & = 0 \\ 9 + 1 + 3A – B + C & = 0 \\ 3A – B + C & = – 10 \, \, \, \, \text{….prs(i)} \\ (x,y) = (5,3) \rightarrow x^2 + y^2 + Ax + By + C & = 0 \\ 5^2 + 3^2 + A.5 + B.3 + C & = 0 \\ 25 + 9 + 5A + 3B + C & = 0 \\ 5A + 3B + C & = – 34 \, \, \, \, \text{….prs(ii)} \\ (x,y) = (6,2) \rightarrow x^2 + y^2 + Ax + By + C & = 0 \\ 6^2 + 2^2 + A.6 + B.2 + C & = 0 \\ 36 + 4 + 6A + 2B + C & = 0 \\ 6A + 2B + C & = – 40 \, \, \, \, \text{….prs(iii)} \end{align} $
Terbentuklah 3 paralelisme adalah
$ \begin{align} 3A – B + C & = – 10 \, \, \, \, \text{….prs(i)} \\ 5A + 3B + C & = – 34 \, \, \, \, \text{….prs(ii)} \\ 6A + 2B + C & = – 40 \, \, \, \, \text{….prs(iii)} \end{align} $
*). Selesaikan ketiga pertepatan tersebut dengan penyingkiran dan substitusi, diperoleh nilai $ A = -8, \, B = -2, \, $ dan $ C = 12 $
Sehingga persamaan lingkarannya :
$ \begin{align} x^2 + y^2 + Ax + By + C & = 0 \\ x^2 + y^2 -8x -2y + 12 & = 0 \end{align} $
Makara, paralelisme lingkarannya adalah $ x^2 + y^2 -8x -2y + 12 = 0 $
Source: https://www.konsep-matematika.com/2015/10/persamaan-lingkaran.html
Posted by: soaltugas.net
