Masih membicarakan orang kelebihan trigonometri, barangkali ini kita akan membuktikan turunan $\cos x$ dan $\sec x$.$$\begin{aligned}D_x \left( \cos x \right) &= -\sin x \\D_x \left( \sec x \right) &= \sec x \tan x\end{aligned}$$

Bukti Turunan $\cos x$

Kita mulai dengan definisi anak adam$$D_x \left( \cos x \right) = \lim \limits_{h \rightarrow 0} \frac{\cos (x+h) – \cos x}{h}$$

Dengan menunggangi rumus jumlah ki perspektif cosinus, diperoleh

turunan cos x bagian 1

Limit yang diinginkan adalah untuk $h$ menuju 0. Karena $\sin x$ dan $\cos x$ bukan memuat variabel $h$, maka keduanya dapat dianggap bak konstan. Berdasarkan sifat limit kelipatan konsisten, diperoleh

turunan cos x bagian 2

Diketahui bahwa $\lim \limits_{h \rightarrow 0} \frac{\sin h}{h}=1$ dan $\lim \limits_{h \rightarrow 0} \frac{1 – \cos h}{h}=0$, sehingga$$\begin{aligned}D_x \left( \cos x \right) &= -\sin x \cdot 1 – \cos x \cdot 0 \\&= -\sin x\end{aligned}$$

Kita juga bisa membuktikan dengan mandu berikut$$D_x \left( \cos x \right) = D_x (\sin ( \frac{\pi}{2} – x))$$

Kita adv pernah bahwa $D_x (\sin x) = \cos x$ (Bukti). Dengan menggunakan sifat rantai diperoleh$$\begin{aligned}D_x \left( \cos x \right) &= -1 \cdot \cos ( \frac{\pi}{2} – x) \\&= -(\cos \frac{\pi}{2} \cos x + \sin \frac{\pi}{2} \sin x) \\&= -\cos \frac{\pi}{2} \cos x – \sin \frac{\pi}{2} \sin x\end{aligned}$$

Diketahui $\sin \frac{\pi}{2} = 1$ dan $\cos \frac{\pi}{2} = 0$.$$\begin{aligned}D_x \left( \cos x \right) &= -1 \cdot 0 \cdot \cos x – 1 \cdot \sin x \\&= -\sin x\end{aligned}$$

Bukti Anak adam $\sec x$

turunan sec x bagian 1

Dengan memperalat sifat limit perkalian fungsi, diperoleh

turunan sec x bagian 2

Selain prinsip ini, kita juga dapat membuktikan dengan aturan pengalokasian.$$\begin{aligned}D_x \left( \sec x \right) &= D_x \left( \frac{1}{\cos x} \right) \\&= \frac{0 \cdot \cos x – (- \sin x) \cdot 1}{\left( \cos x \right) ^{2}} \\&= \frac{\sin x}{\left( \cos x \right) ^{2}} \\&= \frac{1}{\cos x} \cdot \frac{\sin x}{\cos x} \\&= \sec x \cdot \tan x\end{aligned}$$Terbukti.